题目
两个完全相同的小球由两根等长轻绳依次连接并固定于 O 点，以竖直线 \(OO'\) 为轴分别在水平面内做匀速圆周运动，两小球始终处于同一竖直平面内。下列图示构型可能正确的是（ ）。
选项
- A. 下段绳相对竖直方向的倾角大于上段绳的倾角
- B. 两段绳位于同一直线上
- C. 下段绳相对竖直方向的倾角小于上段绳的倾角
- D. 下段绳保持竖直
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间构型判断、圆锥摆参数关联
前置知识：向心力、力的合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 设定两个倾角
设上段绳、下段绳与竖直方向的夹角分别为 \(\alpha、\beta\)，两球转动半径分别为 \(r_1、r_2\)，且 \(r_2=r_1+l\sin\beta\)。
2. 分析下球
下球满足 \(T_2\cos\beta=mg\)、\(T_2\sin\beta=m\omega^2r_2\)，即 \(\tan\beta=\omega^2r_2/g\)。
3. 分析整体
把两球看作整体，上段绳的水平分量要提供两球的总向心力，而竖直分量平衡 \(2mg\)。联立可知稳定的同侧构型中 \(\beta\gt\alpha\)，两绳不共线，故 A 图可能正确。
初学者探索过程
面对陌生双球圆锥摆，我怎样从单球模型长出来
图形很陌生，但每个球仍只是在水平面做圆周运动。我先把下球单独隔离，再考虑上球。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “两根绳一样长，倾角也应该一样？”
先回答：两球角速度相同，但到转轴的半径和每段绳承担的物体数不同。你能否仅由绳长相同推出 \(\alpha=\beta\)？
我先想到：两个球相同、绳长相同、角速度相同，我先猜两段绳可能在一条直线上。
检查这个想法：两球到转轴的半径不同，而且上段绳拉的不只是一个末端球。相同角速度不代表相同向心力，也不代表相同受力比。
修正之后：给两个倾角分别命名为 \(\alpha、\beta\)，两个半径分别写成 \(r_1、r_2\)，不提前假定相等。
留下的方法：连接体题中，几何相同不等于受力相同；先保留不同变量。
2. 从最末端的球开始
先回答：若先隔离下球，它只受哪两个力？请分别沿竖直和水平方向列式，再写出 \(\tan\beta\) 的表达式。
我先想到：我想直接把两个球当整体，但整体方程里未知量很多。
检查这个想法：下球只受重力和下段绳张力，受力最简单。
修正之后：下球有 \(T_2\cos\beta=mg\)、\(T_2\sin\beta=m\omega^2r_2\)，所以 \(\tan\beta=\omega^2r_2/g\)。
留下的方法：串联连接体优先隔离末端物体，再逐层向约束端分析。
3. 倾角由“重量大小”决定吗
先回答：上段绳张力较大是否必然意味着倾角更大？应比较张力的总大小，还是水平分量与竖直分量的比值？
我先想到：上段绳承受两个球，张力更大，所以我差点判断上段倾角更大。
检查这个想法：绳倾角取决于张力水平分量与竖直分量的比，不由张力总大小单独决定。末端球半径更大，需要的水平/竖直受力比更大。
修正之后：稳定同侧构型满足 \(r_2>r_1\)，从方程联立得到 \(\beta>\alpha\)。
留下的方法：判断力的方向，要比较分量比；只比较力的大小通常不够。
现实同构案例
旋转飞椅的串联挂件：越靠外的连接段倾角越大
现实场景
把游乐场旋转飞椅的一条吊链想成两段串联链条，并在两段连接处和末端各装一个质量相同的装饰球。装置稳定旋转时，两球角速度相同，但末端球的转动半径更大。
题目与现实如何对应
上球对应靠近转轴的连接件，下球对应更靠外的座椅或装饰球；两段链条分别对应题中的上、下轻绳。下段绳只需直接拉住末端球，上段绳还要把下球的作用传给悬点，所以不能把两段张力或两球半径视为相同。
不变的物理模型
每个球都在水平面做圆周运动。绳张力的竖直分量参与平衡重力，水平分量改变速度方向并提供向心力。对下球有 \(\tan\beta=\omega^2r_2/g\)；因 \(r_2>r_1\)，稳定同侧构型中下段绳需要更大的倾角，即 \(\beta>\alpha\)。
现实中还要补上的因素
- 真实吊链有质量且会弯曲，不是理想的无质量直绳。
- 启动和制动阶段不是匀速圆周运动，还会出现切向摆动。
- 空气阻力、链条铰接摩擦和乘员摆动会使构型产生小幅振荡。
带回原题想一想
判断图示时，为什么不能只看“上段绳承受的总重量更大”就断定上段倾角更大？倾角真正由哪两个方向的受力比决定？
查看参考答案与评分要点
参考答案
绳的倾角由张力的水平分量与竖直分量之比决定，而不是由张力总大小单独决定。竖直分量负责平衡相关物体的重力，水平分量提供相应半径上的向心力，因此 \(\tan\theta=F_{向心}/F_{竖直}\)。上段绳虽然张力较大，但水平、竖直分量会同时改变；必须分别列两球的径向和竖直方程，才能比较 \(\alpha\) 与 \(\beta\)。
评分要点
- 指出绳角取决于水平分量与竖直分量的比值。
- 说明水平分量提供向心力、竖直分量参与平衡重力。
- 说明仅比较张力大小不能判断倾角。
变式练习
进阶近似题：不等质量双球圆锥摆
上、下两球质量分别为 \(m\) 和 \(2m\)，两根绳长均为 \(l\)，以同一角速度 \(\omega\) 绕竖直轴转动。建立决定两绳倾角 \(\alpha、\beta\) 的方程组，并说明改变下球质量后哪一段绳张力变化更直接。
变式答案
下球：\(T_2\cos\beta=2mg\)、\(T_2\sin\beta=2m\omega^2r_2\)。上球：\(T_1\cos\alpha-T_2\cos\beta=mg\)、\(T_1\sin\alpha-T_2\sin\beta=m\omega^2r_1\)，其中 \(r_1=l\sin\alpha\)、\(r_2=r_1+l\sin\beta\)。下球质量首先直接成比例改变 \(T_2\)，并通过上球方程继续影响 \(T_1\)。
思路提示
**解题思路**
先隔离末端球求下段张力，再隔离上球或把两球视为整体。不要假定两段绳张力相等，也不要把两球的转动半径写成同一个量。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
两题都涉及两个物体绕共同轴以相同角速度运动，需要联立各自的半径、向心力与整体几何关系。
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