题目
粗糙斜面轨道 AB 的下端与光滑圆弧轨道 BCD 相切于 B，C 为最低点，D 与圆心 O 等高，\(\angle BOC=37^\circ\)，圆弧半径 \(R=1.0\,\mathrm m\)。质量 \(m=0.2\,\mathrm{kg}\) 的物体从 D 正上方 E 点由静止下落，\(DE=h=4.0\,\mathrm m\)，物体恰好能到达斜面顶端 A。物体与斜面间动摩擦因数 \(\mu=0.5\)，取 \(\sin37^\circ=0.6、\cos37^\circ=0.8、g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）物体第一次到达 C 点时对轨道的压力；（2）斜面 AB 长度 \(L\)；（3）若 \(\mu\) 可变，求物体在斜面上滑行的总路程 \(x\)。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：圆弧斜面往复与摩擦
训练能力：往复过程划分、分段函数建模
前置知识：动能定理、摩擦做功、圆周运动
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参考答案
分步解析
1. 第（1）问：C 点速度与压力
D 比 C 高 \(R=1\,\mathrm m\)，E 又比 D 高 4 m，所以从 E 到 C 总下降 5 m。由机械能守恒 \(v_C^2=2g\times5=100\)。在 C 点有 \(N-mg=mv_C^2/R\)，得 \(N=2+20=22\,\mathrm N\)。
2. 第（2）问：求斜面长度
B 比 C 高 \(R(1-\cos37^\circ)=0.2\,\mathrm m\)，所以物体到 B 时单位质量动能对应高度 \(5-0.2=4.8\,\mathrm m\)。沿斜面上滑到 A 恰好停止：\(4.8=L(\sin37^\circ+\mu\cos37^\circ)\)。代入 \(\mu=0.5\) 得 \(L=4.8\,\mathrm m\)。
3. 第（3）问：\(0\le\mu\lt0.5\)
此时到达 A 所需能量小于初始动能，物体以非零速度离开斜面顶端，在斜面上只走一次全长，故 \(x=L=4.8\,\mathrm m\)。
4. 第（3）问：\(0.5\le\mu\lt0.75\)
物体每次在斜面上上滑后都会下滑。设一次上滑距离为 \(s_n\)，则下一次上滑距离 \(s_{n+1}=q s_n\)，其中 \(q=(0.6-0.8\mu)/(0.6+0.8\mu)\)，首程 \(s_1=4.8/(0.6+0.8\mu)\)。圆弧及离开 D 后的运动均无能量损失，故斜面总路程 \(x=2\sum s_n=2s_1/(1-q)=6/\mu\)。
5. 第（3）问：\(\mu\ge0.75\)
当 \(\mu\ge\tan37^\circ=0.75\) 时，物体上滑停止后不能自行下滑，只走首段上滑距离，所以 \(x=4.8/(0.6+0.8\mu)\,\mathrm m\)。
初学者探索过程
往复总路程不是一次算完，而是判断后续是否存在
我先算第一次上滑，再问三个问题：会不会越过顶端、停下后会不会下滑、返回后还剩多少能量。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “总路程直接用总能量除摩擦力？”
先回答：使用 \(x=E/f\) 前，必须确认物体最终在哪儿停止。请分别判断越过 A、停在斜面和持续往返时，是否会把全部机械能耗散为热。
我先想到：我想写 \(x=E/f\)，认为所有机械能最终都被摩擦消耗。
检查这个想法：物体可能越过 A 离开斜面，也可能因静摩擦停在坡上；这两种情况下能量并未全部在斜面耗散。
修正之后：必须按是否到顶和是否能下滑分段，只有持续往返区间才能用总摩擦耗散求总路程。
留下的方法：能量法之前先确认过程最终在哪里结束。
2. 等比数列从哪里来
先回答：若每次通过光滑圆弧后只在斜面损失机械能，相邻两次上滑距离能否写成固定比 \(q\)？总路程应如何组成级数？
我先想到：多次往返让我想逐次计算每一段，过程很长。
检查这个想法：每次上、下斜面损失都与本次路程成正比，光滑圆弧不损失能量，所以返回后的能量按固定比例缩小。
修正之后：写出相邻上滑距离比 \(q\)，总路程转化为等比级数；再单独检查 \(\mu=0.5\) 和 \(0.75\) 边界。
留下的方法：重复过程寻找状态量递推，比逐段硬算更有效。
现实同构案例
滑板泵道与粗糙坡：每次往返都扣除一笔摩擦能
现实场景
滑板或小车在光滑弯道与粗糙斜坡之间往返。弯道近似只交换动能和势能，真正的能量损失集中在斜坡，因此每次返回后的上滑距离按固定比例缩短。
题目与现实如何对应
光滑圆弧对应无耗散的回程装置，粗糙 AB 是每次扣除摩擦功的区域。能否越过坡顶、停止后能否自行下滑，决定总路程采用哪一段表达式。
不变的物理模型
每次斜面运动都用 \(W_f=\mu mg\cos\theta\,s\) 记能量损失。能往返时，各次上滑距离形成等比数列；当 \(\mu\ge\tan\theta\) 时，重力沿坡分量不足以克服最大摩擦，运动在首次停止处终结。
现实中还要补上的因素
- 实际滚动阻力并非严格与路程成正比常量。
- 静摩擦因数和动摩擦因数通常不同，边界处要分别判断启动与滑动。
带回原题想一想
为什么 \(\mu=0.5\) 和 \(\mu=0.75\) 会成为分段边界？分别对应“到达哪里”和“能否发生什么后续运动”？
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参考答案
由首次上滑的能量关系，\(\mu=0.5\) 时物体恰以零速度到达斜面顶端 A；当 \(\mu\lt0.5\) 时会越过 A，之后不再在斜面上往返。另一个边界来自停止后的下滑条件：\(mg\sin37^\circ\) 与最大摩擦 \(\mu mg\cos37^\circ\) 相等时 \(\mu=\tan37^\circ=0.75\)。当 \(\mu\ge0.75\) 时物体停下后不能下滑；只有 \(0.5\le\mu\lt0.75\) 才会发生多次往返。
评分要点
- 指出 \(\mu=0.5\) 对应首次恰好到达 A 点。
- 由 \(mg\sin37^\circ=\mu mg\cos37^\circ\) 得到 \(\mu=0.75\)。
- 正确说明越过顶端、往返和停在斜面上的三个区间。
变式练习
进阶近似题：粗糙斜面与光滑回路的能量递推
物体以单位质量动能 \(e_0g\) 从光滑回路进入倾角为 \(\theta\)、长度为 \(L\) 的粗糙斜面，摩擦因数为 \(\mu\)。若未越过斜面顶端，物体可经无耗散回路返回斜面。推导总滑行路程的分段表达式，并说明在 \(\mu=\tan\theta\) 和恰能到顶时为何可能出现边界行为突变。
变式答案
首程 \(s_1=e_0/(\sin\theta+\mu\cos\theta)\)。若 \(s_1\gt L\)，物体越过顶端，总路程为 \(L\)。若 \(s_1\le L\) 且 \(\mu\lt\tan\theta\)，往返能量比 \(q=(\sin\theta-\mu\cos\theta)/(\sin\theta+\mu\cos\theta)\)，总路程 \(x=2s_1/(1-q)=e_0/(\mu\cos\theta)\)。若 \(\mu\ge\tan\theta\)，停止后不再下滑，\(x=s_1\)。边界处是否以零速到端点、是否能反向运动，会改变后续运动阶段，因此要单独判定等号。
思路提示
**解题思路**
把光滑回路视为“只改变方向、不损失能量”的返回装置。斜面每次往返都按固定比例保留动能，于是总路程归结为几何级数；端点和静止临界必须单独检查。
真题拓展
斜面、圆弧与碰撞后的往复运动
高考真题 · 综合迁移
2019年全国Ⅰ卷 · 第25题
两题都需要把斜面与光滑过渡轨道分段建模，利用动能定理追踪多次往返，并以临界位置结束过程；真题额外加入弹性碰撞。
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