题目
质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的遥控玩具车在水平路面由静止启动，前 \(2\,\mathrm s\) 做匀加速直线运动，\(2\,\mathrm s\) 末达到额定功率；\(10\,\mathrm s\) 至 \(14\,\mathrm s\) 以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 匀速；\(14\,\mathrm s\) 末停止遥控后自由滑行，并在 \(18\,\mathrm s\) 停止。全过程阻力大小不变。求：（1）阻力 \(F\)；（2）\(2\,\mathrm s\) 末速度 \(v_x\)；（3）\(2\,\mathrm s\) 至 \(18\,\mathrm s\) 的路程 \(L\)。
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：恒功率分段启动
训练能力：分段运动建模、恒功率方程
前置知识：动能定理、功率
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 第（1）问：由滑行段求阻力
停止遥控后，玩具车从 \(6\,\mathrm{m/s}\) 经 \(4\,\mathrm s\) 匀减速到 0，减速度大小 \(a=1.5\,\mathrm{m/s^2}\)，所以阻力 \(F=ma=1.5\,\mathrm N\)。
2. 确定额定功率
在 \(10\) 至 \(14\,\mathrm s\) 匀速时，牵引力等于阻力，额定功率 \(P=Fv=1.5\times6=9\,\mathrm W\)。
3. 第（2）问：求 \(v_x\)
前 2 s 匀加速，牵引力恒定，并在 2 s 末刚达到额定功率，所以牵引力 \(F_t=P/v_x\)。由 \(P/v_x-F=mv_x/2\)，得 \(v_x^2+3v_x-18=0\)，取正根 \(v_x=3\,\mathrm{m/s}\)。
4. 第（3）问：分段求路程
2 至 10 s 为恒功率阶段，动能定理给出 \(P\times8-Fs_{2-10}=m(6^2-3^2)/2\)，得 \(s_{2-10}=39\,\mathrm m\)。10 至 14 s 路程为 24 m，14 至 18 s 路程为速度图像三角形面积 12 m，故总路程 \(L=75\,\mathrm m\)。
初学者探索过程
长过程题不硬冲：先把四个阶段拼起来
题目给了很多时刻。我先画一条时间轴，把每段的动力条件写在上面，再寻找能从后一段反推前一段的已知量。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 从最后的自由滑行倒着求
先回答：遥控关闭后的滑行段只剩哪个水平力？利用已知初末速度和时间，能先求出哪个贯穿全程的量？
我先想到：我本来想从前 2 秒开始，但牵引力和阻力都未知，立刻卡住。
检查这个想法：14 秒后关闭遥控，只剩恒定阻力，而且初末速度和时间全知道。
修正之后：先由 \(a=(0-6)/4=-1.5\,\mathrm{m/s^2}\) 求 \(F=ma=1.5\,\mathrm N\)。再由匀速段得到额定功率 \(P=Fv=9\,\mathrm W\)。
留下的方法：分段题不一定顺时间求；优先找受力最少、已知量最多的阶段。
2. “恒功率就是恒定牵引力？”
先回答：恒功率阶段速度持续增大。由 \(P=F_tv\)，牵引力 \(F_t\) 和加速度会怎样变化？是否还能使用匀加速公式？
我先想到：我差点把 2 到 10 秒也当作匀加速，因为功率不变。
检查这个想法：由 \(P=F_tv\)，速度升高时若功率固定，牵引力必须减小，所以合力和加速度也不断减小。
修正之后：恒功率阶段用 \(F_t=P/v\)，不能用匀加速位移公式。2 秒末则利用“刚达到额定功率”把前后两阶段连接起来。
留下的方法：恒力、恒功率、恒加速度是三个不同条件，看到功率先写 \(P=Fv\)。
3. 恒功率阶段怎样求路程
先回答：若加速度随时间变化，但已知恒功率、阶段时长和两端速度，能否绕开 \(v-t\) 函数，用哪条功能关系直接求路程？
我先想到：加速度变化，我以为必须先解出复杂的 \(v-t\) 函数。
检查这个想法：题目要的是整段路程，并且给了持续时间和两端速度；功率乘时间直接给牵引力总功。
修正之后：用动能定理 \(Pt-Fs=\Delta K\) 一步求出 2 到 10 秒的路程，再与匀速段和滑行段相加。
留下的方法：变加速过程若问总路程，先试动能定理，不要默认必须求运动函数。
现实同构案例
电动车全力加速：先受牵引力限制，再受电机功率限制
现实场景
电动车从静止全力加速时，低速阶段常由轮胎抓地力或电机最大转矩限制，驱动力近似恒定；速度升高后达到额定功率，动力系统只能维持近似恒功率，于是驱动力随速度增加而减小；最终驱动力与阻力平衡。
题目与现实如何对应
玩具车的前 2 秒对应恒牵引力阶段，2 至 10 秒对应恒功率阶段，10 至 14 秒对应驱动力等于阻力的最高匀速，关闭遥控后的滑行段则用来反推出阻力。四段不是四套孤立公式，而是由牵引力、功率和阻力的约束依次切换。
不变的物理模型
恒功率阶段满足 \(F_t=P/v\)，速度越大，牵引力越小；运动方程为 \(m\dot v=P/v-f\)。求一段路程时，用 \(Pt-fs=\Delta K\) 比强行寻找恒加速度更直接。最终匀速满足 \(P=fv_m\)。
现实中还要补上的因素
- 真实汽车阻力并非常量，高速时空气阻力近似随速度平方增加。
- 电机效率、传动效率和电池可输出功率会随转速、温度和电量变化。
- 轮胎最大静摩擦决定低速可用牵引力，过大会打滑，不能无限提高加速度。
带回原题想一想
为什么恒功率阶段不能继续使用匀加速公式？从 \(F_t=P/v\) 出发，说明加速度随速度如何变化。
查看参考答案与评分要点
参考答案
功率恒定时 \(F_t=P/v\)。随着速度增大，牵引力减小；若阻力为常量 \(f\)，则 \(a=(P/v-f)/m\)，加速度也随速度增大而减小，并在 \(P/v=f\) 时降为零。由于加速度不是常量，不能使用只适用于匀变速运动的位移和速度公式，应改用动能定理或积分关系。
评分要点
- 由 \(P=F_tv\) 得出 \(F_t=P/v\)。
- 写出或说明 \(a=(P/v-f)/m\) 随速度增大而减小。
- 指出加速度不恒定，因此不能套匀加速公式。
变式练习
进阶近似题：带坡度的恒功率启动
质量为 \(m\) 的汽车在倾角为 \(\theta\) 的长斜坡上向上启动，阻力恒为 \(f\)。前一阶段以恒定牵引力加速，在速度 \(v_1\) 时达到额定功率 \(P\)，此后保持恒功率，最终匀速。求前段牵引力、最终速度，并建立恒功率阶段速度随时间变化的隐式关系。
变式答案
达到额定功率瞬间牵引力为 \(F_0=P/v_1\)。最终匀速满足 \(P/v_m=f+mg\sin\theta\)，故 \(v_m=P/(f+mg\sin\theta)\)。恒功率阶段有 \(m\dot v=P/v-(f+mg\sin\theta)\)。积分可得 \(t-t_1=m\int_{v_1}^{v}\dfrac{u\,du}{P-(f+mg\sin\theta)u}\)，它给出 \(v(t)\) 的隐式关系。
思路提示
**解题思路**
把坡向恒定阻力合并为 \(f+mg\sin\theta\)。恒功率阶段牵引力随速度变化，不能继续使用匀加速公式。