题目
质量相等的 A、B 两物体放在同一水平面上，分别受水平恒力 \(F_1、F_2\)，同时由静止从同一位置出发。经过 \(t_0\) 和 \(4t_0\)，速度分别达到 \(2v_0\) 和 \(v_0\) 时撤去对应恒力，随后两物体均匀减速直至停止。根据题给 \(v-t\) 图像，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. \(F_1\) 与 \(F_2\) 的大小之比为 \(8:1\)
- B. 在 \(2t_0\) 和 \(3t_0\) 间的某一时刻 B 追上 A
- C. \(F_1\) 与 \(F_2\) 做功大小之比为 \(5:6\)
- D. \(F_1\) 与 \(F_2\) 的冲量大小之比为 \(3:5\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：恒力作用与速度图像
训练能力：速度图像分段、功与冲量辨析
前置知识：速度时间图像、摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由撤力后斜率求摩擦力
A 从 \(2v_0\) 经 \(2t_0\) 停下，B 从 \(v_0\) 经 \(t_0\) 停下，二者减速度均为 \(v_0/t_0\)，所以滑动摩擦力 \(f=mv_0/t_0\)。
2. 反求两个恒力
加速阶段有 \(a_A=2v_0/t_0\)、\(a_B=v_0/(4t_0)\)。因此 \(F_1=ma_A+f=3mv_0/t_0\)，\(F_2=ma_B+f=5mv_0/(4t_0)\)。
3. 比较位移、功和冲量
由图像面积，A 加速位移为 \(v_0t_0\)，B 加速位移为 \(2v_0t_0\)，故恒力做功比为 \(6:5\)。在 \(2t_0\) 到 \(3t_0\) 内 B 的累计位移仍小于 A。恒力冲量比为 \(F_1t_0:F_2(4t_0)=3:5\)，选 D。
初学者探索过程
一张速度图，我分别从斜率和面积读信息
我先在图上标出加速段和撤力段，避免把图线斜率直接当外力。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “加速段斜率就是 F/m？”
先回答：加速段和撤力后的减速段分别有哪些水平力？哪一段能单独求摩擦力，再怎样反求恒力 \(F\)？
我先想到：我想用 \(F=ma\) 直接从斜率求恒力。
检查这个想法：水平面有摩擦，加速段合力是 \(F-f\)；只有撤力段才只剩摩擦。
修正之后：先用撤力段斜率求 \(f\)，再由 \(F-f=ma\) 反求恒力。
留下的方法：图像给的是运动结果，求某个力前先还原完整受力。
2. 追及、功和冲量用什么
先回答：面对同一张 \(v-t\) 图，请分别写出求位移、加速度、恒力冲量和恒力做功时要读取的图像量。
我先想到：四个选项都带图像，我差点只比较最高速度。
检查这个想法：追及看位移即面积；恒力做功还要乘该力作用期间位移；冲量乘作用时间。
修正之后：把每个物理量翻译成图像操作后再逐项算。
留下的方法：斜率—加速度，面积—位移，时间—冲量，位移—功。
现实同构案例
仓库搬运车测试：由速度曲线反推驱动力与阻力
现实场景
工程师让两台同质量搬运车在同一地面加速，随后切断动力并记录速度曲线。滑行段的斜率可估算滚动阻力，加速段斜率再用于反求电机牵引力。
题目与现实如何对应
撤力后的直线下降段只剩摩擦阻力；加速段则是驱动力减阻力。图线面积给位移，力乘时间给冲量，力乘位移给功。
不变的物理模型
斜率对应 \(a=\Delta v/\Delta t\)，面积对应 \(s=\int vdt\)。先由滑行段求 \(f=ma\)，再由 \(F-f=ma\) 求驱动力；功与冲量必须分别匹配位移和时间，不能混用。
现实中还要补上的因素
- 真实阻力会随速度和路面变化。
- 采样频率、制动延迟和速度传感器噪声会使折线转角变圆。
带回原题想一想
同一张 \(v-t\) 图中，为什么比较追及要看累计面积，而比较受力要看斜率？
查看参考答案与评分要点
参考答案
追及取决于两物体的位置是否相同，而位移是速度对时间的积分，即 \(v-t\) 图线下的累计面积；两图面积差就是相对位移。受力通过 \(F_{合}=ma\) 与加速度联系，而加速度是速度对时间的变化率，即图线斜率。因此面积回答“走了多远”，斜率回答“速度改变得多快”。
评分要点
- 指出图线下面积表示位移，面积差对应相对位移。
- 指出图线斜率表示加速度。
- 用 \(F_{合}=ma\) 将斜率与受力联系起来。
变式练习
进阶近似题：由分段图像反演驱动力
质量为 \(m\) 的物体在粗糙水平面上由静止出发。恒力作用 \(2t_0\) 后速度达到 \(3v_0\)，撤力后又经 \(3t_0/2\) 停止。求恒力、摩擦力、恒力冲量与摩擦力全程冲量，并验证总冲量等于动量变化。
变式答案
撤力后减速度为 \(2v_0/t_0\)，故 \(f=2mv_0/t_0\)。加速时 \(a=3v_0/(2t_0)\)，所以 \(F=ma+f=7mv_0/(2t_0)\)。恒力冲量为 \(7mv_0\)，摩擦全程冲量为 \(-2mv_0/t_0\times(7t_0/2)=-7mv_0\)，总冲量为 0，与初末动量均为 0 一致。
思路提示
**解题思路**
撤力后的斜率只对应摩擦；受恒力阶段的合力还要减去摩擦。最后把摩擦作用时间覆盖整个运动过程。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
两题都要把速度图像拆成恒力加速、撤力减速等阶段，并利用图像斜率、面积与边界时刻判断过程量。
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