题目
有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为 \(v_1\)。一条小船在河上横渡，船在静水中的速度大小为 \(v_2\)。第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向；第二次过河时行驶路线与河岸垂直。若 \(v_1、v_2\) 均不变，第一次与第二次过河所用时间的比值为（ ）。
选项
- A. \(\dfrac{v_1}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}\)
- B. \(\dfrac{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}{v_1}\)
- C. \(\dfrac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}\)
- D. \(\dfrac{\sqrt{v_2^2+v_1^2}}{v_2}\)
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：渡河时间与速度合成
训练能力：速度矢量分解、时间方案比较
前置知识：运动合成、三角函数
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 设定河宽
设河宽为 \(L\)。第一次船头垂直河岸，垂岸分速度就是 \(v_2\)，所以 \(t_1=L/v_2\)。
2. 构造垂直航迹
第二次要让合速度垂直河岸，船速的沿岸分量必须抵消水速。垂岸分速度为 \(v_\perp=\sqrt{v_2^2-v_1^2}\)，要求 \(v_2\gt v_1\)。
3. 计算时间比
\(t_2=L/\sqrt{v_2^2-v_1^2}\)，故 \(\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}\)。答案为 C。
初学者探索过程
我第一次遇到“小船渡河”时会怎么想
先不急着套时间公式。我先画河岸、船头和实际航迹，弄清题目两次改变的到底是哪一个方向。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “路线垂直，看起来应该更快？”
先回答：两种方案都横跨同一河宽：一种船头垂直河岸，另一种航迹垂直河岸。哪一种横河速度分量更大？先据此判断时间长短。
我先想到：第二次航迹垂直河岸，走的是最短路线，所以我直觉上认为第二次用时更短。
检查这个想法：渡河时间由横跨河宽的速度分量决定，不只由路线长度决定。第二次为了抵消水流，船速必须分出一部分指向上游，真正用于横河的分量反而变小。
修正之后：第一次横河分速度是 \(v_2\)；第二次是 \(\sqrt{v_2^2-v_1^2}\)。因此第一次更快，第二次只是落点不漂移。
留下的方法：遇到合运动，先问目标位移由哪个速度分量完成，再谈路程长短。
2. “能不能直接把水速和船速相加？”
先回答：请分别标出 \(\vec v_{船/水}\)、\(\vec v_{水/岸}\) 和 \(\vec v_{船/岸}\) 的方向，并说明为什么不能写成标量式 \(v=v_1+v_2\)。
我先想到：我想写实际速度 \(v=v_1+v_2\)。
检查这个想法：两个速度互相垂直或成角度，不在同一直线上，标量相加会丢掉方向。
修正之后：必须画速度三角形：\(\vec v_{船/岸}=\vec v_{船/水}+\vec v_{水/岸}\)。第二次的沿岸合速度为零。
留下的方法：看到“相对谁的速度”，立即写清下标并用矢量相加。
3. 用极端情况检查答案
先回答：若水速从 \(0\) 逐渐增大到接近船相对水的速度，两次渡河时间的比值应分别趋近什么极限？
我先想到：公式算出来后，我还不确定时间比的方向。
检查这个想法：令水速逐渐接近船速，第二次可用于横河的速度应接近零，所需时间趋于无穷；所以 \(t_1/t_2\) 应趋于零。
修正之后：只有选项 C 的 \(\sqrt{v_2^2-v_1^2}/v_2\) 符合这个极端情况。
留下的方法：选择题得到公式后，用零水速或临界水速做一次物理检查。
现实同构案例
横渡有侧流的救援艇：船头方向不等于实际航迹
现实场景
救援艇要从河岸驶到正对岸的码头。若驾驶员只把船头对准正前方，艇会被水流带向下游；若必须在正对岸靠泊，就要把船头偏向上游，用一部分相对水的速度抵消侧流。
题目与现实如何对应
题中的“小船在静水中的速度”对应艇相对水的速度，“河水流速”对应水相对河岸的速度，“船的实际路线”对应艇相对河岸的合速度。第一次把全部船速用于横河，横向分量最大但会漂移；第二次牺牲一部分横向分量抵消水流，因此不漂移但用时更长。
不变的物理模型
这是速度的矢量相加：\(\vec v_{艇/岸}=\vec v_{艇/水}+\vec v_{水/岸}\)。要使航迹垂直河岸，沿岸分量必须为零，所以横河速度为 \(\sqrt{v_2^2-v_1^2}\)。这正是原题时间比的来源。
现实中还要补上的因素
- 真实河流的流速会随位置和水深变化，驾驶员需要持续修正航向。
- 风、浪和船的转向响应会改变速度三角形，因此实际航行要留安全余量。
- 当最大船速不大于水速时，仍可到达对岸，但不可能沿垂直河岸的航迹到达正对岸。
带回原题想一想
为什么“船头始终垂直河岸”能最快到达另一岸，却不能到达正对岸？请分别指出两种要求优化的是哪个速度分量。
查看参考答案与评分要点
参考答案
船头垂直河岸时，船相对水的全部速度 \(v_2\) 都用于横河，横河分量最大，所以时间最短；但水流仍提供沿岸速度 \(v_1\)，船会向下游漂移。要到达正对岸，船必须分出向上游的速度分量抵消 \(v_1\)，沿岸合速度变为零，而横河分量降为 \(\sqrt{v_2^2-v_1^2}\)，因此航迹垂直但用时更长。
评分要点
- 指出最快方案优化的是横河速度分量。
- 指出正对岸方案要求沿岸合速度为零。
- 写出或说明抵消水流后横河分量减小，因此时间增大。
变式练习
进阶近似题：限时到达对岸指定点
河宽为 \(120\,\mathrm m\)，水速为 \(3\,\mathrm{m/s}\)，船在静水中的速度为 \(5\,\mathrm{m/s}\)。船要在 \(30\,\mathrm s\) 内到达正对岸上游 \(30\,\mathrm m\) 处，判断是否可行；若可行，求船头相对垂直河岸方向的偏角。
变式答案
目标合速度分量为 \(v_\perp=120/30=4\,\mathrm{m/s}\)、\(v_\parallel=-30/30=-1\,\mathrm{m/s}\)。船对水速度沿岸分量应为 \(-1-3=-4\,\mathrm{m/s}\)，与垂岸分量组成 \(\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\,\mathrm{m/s}\gt5\,\mathrm{m/s}\)，因此不可行。
思路提示
**解题思路**
先由目标位移和规定时间反求合速度，再减去水流速度得到所需船速；最后与船在静水中的最大速度比较。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
两题都要先把二维运动拆成彼此独立的分运动，再由某一方向的时间约束判断另一方向的位移。
查看题目资料