题目
某摩天轮在竖直面内绕 O 点做匀速圆周运动，半径为 \(R\)，角速度为 \(\omega\)，转动过程中轿厢地板始终保持水平。质量为 \(m\) 的物体放在地板上，当物体转到 O 点左下方、半径与水平方向夹角为 \(\theta\) 的位置时，物体受到的摩擦力大小为（ ）。
选项
- A. \(m\omega^2R\sin\theta\)
- B. \(m\omega^2R\cos\theta\)
- C. \(m\omega^2R\tan\theta\)
- D. \(\dfrac{m\omega^2R}{\tan\theta}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆周运动受力分解
训练能力：向心加速度定向、二维受力分解
前置知识：匀速圆周运动、牛顿第二定律
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参考答案
分步解析
1. 确定加速度方向
物体随轿厢绕 O 做圆周运动，加速度指向圆心，大小为 \(a_n=\omega^2R\)。
2. 分解水平方向
轿厢地板水平，重力和支持力均竖直，只有静摩擦力能提供水平合力。向心加速度的水平分量为 \(a_x=\omega^2R\cos\theta\)。
3. 得到摩擦力
由水平方向牛顿第二定律，\(f=ma_x=m\omega^2R\cos\theta\)，故选 B。
初学者探索过程
向心力不是一种新力，我先画真实受力
我先画重力、支持力和摩擦力，再把它们的合力投影到指向圆心的方向。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “还要再画一个向心力？”
先回答：轿厢中的物体实际受到哪些施力物体的作用？请先画真实力，再用这些力的合力指出向心加速度方向。
我先想到：我想在受力图上额外画 \(m\omega^2R\) 指向圆心。
检查这个想法：向心力是已有真实力沿半径方向的合力，不是新增相互作用。
修正之后：只画重力、支持力、摩擦力；它们的合力产生向心加速度。
留下的方法：受力图只画施力物体真实存在的力。
2. 水平摩擦怎样确定
先回答：物体相对轿厢静止时，水平方向只有哪个力？它需要提供向心加速度的哪个分量，能否直接取 \(\mu mg\)？
我先想到：我想直接写 \(f=\mu mg\)。
检查这个想法：物体没有滑动，静摩擦按需要取值；它是唯一的水平力。
修正之后：取向心加速度水平分量，得 \(f=m\omega^2R\cos\theta\)。
留下的方法：静摩擦先由牛顿第二定律求，再与最大值比较。
现实同构案例
摩天轮轿厢里的手机：水平摩擦提供横向加速度
现实场景
手机放在始终保持水平的摩天轮轿厢地板上。手机随轿厢绕轮轴运动时，虽然地板没有倾斜，它仍需要指向圆心的加速度。
题目与现实如何对应
重力和支持力都竖直，不能提供水平合力；因此向心加速度的水平分量只能由地板静摩擦提供。
不变的物理模型
向心加速度为 \(\omega^2R\)，方向沿半径指向圆心。把它投影到水平方向便得 \(f=m\omega^2R\cos\theta\)。静摩擦不是固定等于 \(\mu N\)，而是按所需合力自适应。
现实中还要补上的因素
- 轿厢摆动和启停会引入切向加速度。
- 只有所需摩擦超过最大静摩擦时物体才会滑动。
带回原题想一想
若物体位于摩天轮正上方或正下方，为什么所需水平摩擦力为零，但支持力并不一定等于重力？
查看参考答案与评分要点
参考答案
在最高点和最低点，向心加速度都沿竖直方向，所以不需要水平合力，水平静摩擦为零。但竖直方向仍需产生大小为 \(m\omega^2R\) 的向心合力：最高点满足 \(mg-N=m\omega^2R\)，最低点满足 \(N-mg=m\omega^2R\)。因此只要 \(\omega\ne0\)，支持力一般就不等于重力。
评分要点
- 指出最高点和最低点的向心加速度没有水平分量。
- 分别写出或说明最高点、最低点的竖直合力关系。
- 说明支持力只有在向心加速度为零等特殊情况下才等于重力。
变式练习
进阶近似题：轿厢内临界不滑动
摩天轮半径为 \(R\)，轿厢地板水平，物体与地板间静摩擦因数为 \(\mu\)。推导物体在任意位置都不滑动时角速度 \(\omega\) 应满足的条件，并考虑支持力随位置变化对最大静摩擦力的影响。
变式答案
设半径与竖直向下方向夹角为 \(\phi\)。有 \(f=m\omega^2R|\sin\phi|\)，\(N=mg-m\omega^2R\cos\phi\)。需对所有 \(\phi\) 满足 \(\omega^2R|\sin\phi|\le\mu(g-\omega^2R\cos\phi)\)。其最不利条件等价于 \(\omega^2R\sqrt{1+\mu^2}\le\mu g\)，即 \(\omega^2R\le\mu g/\sqrt{1+\mu^2}\)。
思路提示
**解题思路**
不能只用 \(f\le\mu mg\)，因为支持力也随竖直向心分量变化。先写出 \(f(\phi)\) 与 \(N(\phi)\)，再对整周寻找最严格条件。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
情境同为始终保持水平的摩天轮座舱，核心都是先确定向心加速度方向，再由受力分解判断摩天轮作用力及其分量。
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