题目
I 为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为 \(2\theta\)；II 为地球的近地卫星。已知地球自转周期为 \(T_0\)，万有引力常量为 \(G\)。根据题中条件，可求出（ ）。
选项
- A. 地球平均密度为 \(\dfrac{3\pi\sin^3\theta}{GT_0^2}\)
- B. 卫星 I 和卫星 II 的加速度之比为 \(\sin^2\theta\)
- C. 卫星 II 的周期为 \(T_0\sqrt{\sin^3\theta}\)
- D. 卫星 II 一个周期内无法直接接收到卫星 I 电磁波信号的时间为 \(\dfrac{(\pi+2\theta)T_0}{2\pi}\sqrt{\sin^3\theta}\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：同步卫星与几何遮挡
训练能力：轨道参数推导、空间几何建模
前置知识：同步卫星、开普勒第三定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立几何比例
从卫星 I 向地球作切线，设静止轨道半径为 \(r\)、地球半径为 \(R\)，则 \(\sin\theta=R/r\)。
2. 比较加速度和周期
\(a_I/a_{II}=(R/r)^2=\sin^2\theta\)。由开普勒第三定律，\(T_{II}/T_0=(R/r)^{3/2}=\sqrt{\sin^3\theta}\)。
3. 求密度与遮挡时间
\(\rho=3\pi/(GT_0^2\sin^3\theta)\)，所以 A 少了倒数。近地卫星受遮挡的圆心角为 \(\pi+2\theta\)，遮挡时间为该角度占一周的比例乘 \(T_{II}\)。故 B、C、D 正确。
初学者探索过程
多选卫星题，我把几何量翻译成轨道半径比
我先从切线图中提取唯一的无量纲量 \(R/r\)，再让每个选项都用它表示。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “张角越大，卫星一定越远？”
先回答：从卫星向地球作切线，半张角为 \(\theta\)。请写直角三角形中的 \(\sin\theta\)，并用“越远看起来越小”检查比例方向。
我先想到：我对图形方向没有把握，差点把 \(r/R\) 写反。
检查这个想法：离地球越远，看到的地球应越小，半张角应减小。
修正之后：切线直角三角形给 \(\sin\theta=R/r\)，符合远则角小。
留下的方法：几何公式写完后用远近趋势检查比例方向。
2. 同一个比例出现不同幂次
先回答：同一个轨道半径比代入 \(a=GM/r^2\) 和 \(T^2\propto r^3\) 后，加速度比与周期比分别带什么幂次？
我先想到：我想把加速度比和周期比都写成 \(R/r\)。
检查这个想法：引力加速度按半径平方反比，周期按半径 \(3/2\) 次方变化。
修正之后：分别得到 \(a_I/a_{II}=(R/r)^2\) 和 \(T_{II}/T_0=(R/r)^{3/2}\)。
留下的方法：先写基本规律，再代共同几何比，不能凭相似形式猜幂次。
现实同构案例
导航卫星链路规划：地球遮挡决定通信窗口
现实场景
地面站或高轨卫星与低轨卫星通信时，地球会像屏障一样遮住无线电视线。工程师用轨道高度、地球张角和相对周期估算可见时间。
题目与现实如何对应
同步卫星看到的地球半张角给出 \(R/r\)，近地卫星周期由轨道尺度换算，信号遮挡时长则由被遮挡圆心角占一周的比例决定。
不变的物理模型
切线几何给 \(\sin\theta=R/r\)；引力加速度按 \(r^{-2}\) 变化，周期按 \(r^{3/2}\) 变化。几何、动力学和时间比例是原题三个选项的共同骨架。
现实中还要补上的因素
- 大气折射和通信天线最低仰角会缩短有效可见窗口。
- 真实导航星座还需考虑轨道倾角与多颗卫星接力。
带回原题想一想
为什么同一个 \(R/r\) 既会以平方出现在加速度比中，又会以 \(3/2\) 次方出现在周期比中？
查看参考答案与评分要点
参考答案
\(R/r\) 只是几何给出的半径比，代入不同物理规律时会继承不同幂次。引力加速度满足 \(a=GM/r^2\)，所以加速度比含半径比的平方；开普勒第三定律给 \(T^2\propto r^3\)，即 \(T\propto r^{3/2}\)，所以周期比含半径比的 \(3/2\) 次方。幂次来自物理定律，不来自张角几何本身。
评分要点
- 写出或说明引力加速度的平方反比规律。
- 写出或说明周期的 \(r^{3/2}\) 规律。
- 指出共同几何比代入不同定律后产生不同幂次。
变式练习
进阶近似题：卫星之间的可视窗口
同步卫星对地半张角为 \(\theta\)，一颗轨道半径为 \(kR\) 的低轨卫星与其共面、同向运动。建立低轨卫星一个周期内被地球遮挡的时间比例，并求两卫星相对角速度决定的连续通信窗口周期。
变式答案
同步卫星切线决定遮挡边界；在低轨圆上可进一步由几何求临界圆心角 \(\beta\)。单个低轨周期的遮挡比例为遮挡圆心角除以 \(2\pi\)。低轨角速度 \(\omega_L=\sqrt{GM/(kR)^3}\)，同步角速度 \(\omega_S=2\pi/T_0\)，相对构型重复周期为 \(T_\text{rel}=2\pi/|\omega_L-\omega_S|\)。
思路提示
**解题思路**
原题把同步卫星近似固定在地球坐标系中；进阶题还要处理两卫星相对转动。先解几何边界，再用相对角速度组织时间窗口。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
两题都把同步卫星的轨道半径、中心天体密度和自转周期联立，核心消元关系完全一致。
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