题目
某星球的质量为地球质量的一半，半径为地球半径的一半。已知地球表面的重力加速度大小为 \(g_0\)，忽略天体自转。该星球表面的重力加速度大小为（ ）。
选项
- A. \(\dfrac14g_0\)
- B. \(\dfrac12g_0\)
- C. \(g_0\)
- D. \(2g_0\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：星球表面重力
训练能力：比例法、天体参数换算
前置知识：万有引力定律、表面重力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写表面重力公式
忽略自转时，星球表面物体满足 \(mg=GMm/R^2\)，所以 \(g=GM/R^2\)。
2. 使用比例法
\(\dfrac{g'}{g_0}=\dfrac{M'/M_\oplus}{(R'/R_\oplus)^2}=\dfrac{1/2}{(1/2)^2}=2\)。
3. 结论
该星球表面重力加速度为 \(2g_0\)，选 D。
初学者探索过程
质量小不代表表面重力一定小
我先写表面物体受到的万有引力，再比较质量和半径各自带来的倍率。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “质量只有一半，所以重力也是一半？”
先回答：星球质量和半径都变为地球的一半时，请把质量的一次幂和半径的平方项分别代入 \(g=GM/R^2\)，先不要凭直觉判断。
我先想到：我只看到星球质量变小，直觉选 \(g_0/2\)。
检查这个想法：表面到星心的距离也变成一半，而引力随距离平方反比，距离效应更强。
修正之后：用 \(g=GM/R^2\)，比例为 \((1/2)/(1/2)^2=2\)。
留下的方法：比例题把每个自变量的幂次分别计算。
2. 用单位和趋势检查
先回答：保持质量比不变，只让半径继续减小，表面重力应增大还是减小？这个极端趋势能否支持 \(2g_0\) 的结果？
我先想到：算出 \(2g_0\) 后，我觉得小星球重力更大很反常。
检查这个想法：若把同样质量压缩到很小半径，表面更靠近全部质量，重力确实可变强。
修正之后：结果不违反直觉背后的物理，只是“质量更小”不是唯一变化。
留下的方法：反直觉结果先检查遗漏变量，不要立即否定公式。
现实同构案例
探测器选择着陆发动机：小行星不一定重力更小
现实场景
行星探测器设计降落与起飞方案时，不能只看天体质量，还必须看半径；质量较小但半径缩得更多的致密天体，表面重力可能反而更强。
题目与现实如何对应
题中的质量比决定引力源强弱，半径比决定探测器离天体中心多远，两者共同决定表面重力。
不变的物理模型
表面有 \(g=GM/R^2\)。质量缩为一半使 \(g\) 乘 \(1/2\)，半径缩为一半使 \(g\) 再乘 \(1/(1/2)^2=4\)，合起来得到 \(2g_0\)。
现实中还要补上的因素
- 快速自转会减小赤道处的有效重力。
- 不规则小天体的重力方向和大小会随地点明显变化。
带回原题想一想
为什么比较表面重力时半径要平方，而不能简单比较平均密度或质量？
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参考答案
天体表面的物体到天体质心的距离就是半径 \(R\)，由万有引力定律有 \(g=GM/R^2\)，所以距离效应必然以平方出现。只比较质量会漏掉距离；只比较平均密度也不够，因为代入 \(M=4\pi R^3 ho/3\) 后得到 \(g=4\pi G ho R/3\)，仍然需要半径。
评分要点
- 写出表面重力公式 \(g=GM/R^2\)。
- 说明半径是表面到质心的距离，因此按平方反比进入。
- 说明质量或密度单独都不足以确定表面重力。
变式练习
进阶近似题：由密度和逃逸速度反推半径
一颗均匀星球的平均密度为地球的 \(2\) 倍，表面重力加速度与地球相同。求其半径、质量和第一宇宙速度分别为地球对应量的多少倍。
变式答案
由 \(g=(4\pi G/3)\rho R\)，得 \(R'/R_\oplus=1/2\)。质量比为 \(M'/M_\oplus=(\rho'/\rho_\oplus)(R'/R_\oplus)^3=1/4\)。第一宇宙速度 \(v_1=\sqrt{gR}\)，故 \(v_1'/v_{1\oplus}=1/\sqrt2\)。
思路提示
**解题思路**
先把 \(M=4\pi\rho R^3/3\) 代入表面重力公式消去质量，再分别恢复质量和第一宇宙速度。
真题拓展
嫦娥三号月面悬停与自由下落
高考真题 · 高度同构
2015年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第8题
真题直接利用天体质量、半径的比例求月面重力加速度，再把结果用于悬停受力、自由落体和近月轨道判断。
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