题目
航天器先进入近地圆轨道 1 做匀速圆周运动，再经椭圆轨道 2，最终进入圆轨道 3 做匀速圆周运动。轨道 2 分别与轨道 1、轨道 3 相切于 P、Q 两点。则航天器（ ）。
选项
- A. 在轨道 3 上的机械能小于其在轨道 2 上的机械能
- B. 在轨道 1 上的运行周期大于其在轨道 3 上的运行周期
- C. 在轨道 2 上 Q 点的速度大于其在轨道 3 上 Q 点的速度
- D. 正常运行时在轨道 1 上 P 点的加速度等于其在轨道 2 上 P 点的加速度
学习定位
卫星轨道与变轨
题族：圆轨道与转移椭圆
训练能力：轨道状态比较、切点变轨判断
前置知识：开普勒第三定律、轨道机械能
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较轨道机械能
圆轨道比能为 \(\varepsilon=-GM/(2r)\)，转移椭圆比能为 \(-GM/(2a)\)。轨道半长轴越大，机械能越高，因此外圆轨道 3 的机械能高于转移轨道 2。
2. 比较周期与切点速度
由 \(T\propto r^{3/2}\)，内圆轨道周期更小。在远地点 Q，要从椭圆转入外圆轨道还需加速，故 \(v_{2Q}\lt v_{3Q}\)。
3. 比较同一点加速度
引力加速度只由当前位置决定：\(a=GM/r^2\)。轨道 1 和轨道 2 在同一 P 点的加速度完全相同，故选 D。
初学者探索过程
轨道选项很多时，我先把“位置”和“轨道”分开
机械能、周期、速度、加速度混在四个选项里。我先标记：哪些量看整条轨道，哪些量只看当前所在位置。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “外轨道更高，机械能是不是更小？”
先回答：圆轨道从 \(r_1\) 升到 \(r_2>r_1\) 时，\(E=-GMm/(2r)\) 在数轴上向哪个方向变化？发动机总功应为正还是负？
我先想到：我受重力势能 \(-GMm/r\) 影响，觉得离地越远势能越接近零，好像绝对值更小，于是机械能可能更小。
检查这个想法：轨道机械能是负数。数轴上 \(-2\) 比 \(-5\) 大；轨道升高需要发动机做正功，所以总机械能应升高。
修正之后：椭圆或圆轨道比能为 \(\varepsilon=-GM/(2a)\)，半长轴越大，机械能越高、越接近零。
留下的方法：比较负能量时说“更高/更低”，不要只比较绝对值。
2. “P点速度变了，加速度也该变吧？”
先回答：点火结束后，航天器在同一 P 点分别沿圆轨道和转移椭圆运动。两种状态的受力是否相同？加速度应先由 \(F=ma\) 还是 \(v^2/r\) 判断？
我先想到：圆轨道和转移轨道在 P 点速度不同，我直觉认为向心加速度 \(v^2/r\) 也不同。
检查这个想法：离开发动机点火瞬间后，两种轨道在同一 P 点都只受同一个地球引力。由牛顿第二定律，加速度应由当前合力决定。
修正之后：同一点都有 \(a=GM/r^2\)。椭圆轨道此处的 \(v^2/r\) 不能直接当作全部加速度，因为轨迹曲率半径不一定等于到地心距离。
留下的方法：先由受力求加速度；只有匀速圆周运动才能直接用 \(v^2/r\) 且把轨道半径当曲率半径。
3. 远地点为什么还要加速
先回答：航天器到达转移椭圆远地点 Q 后，若不再点火会怎样运动？要切入外圆轨道，速度需要增大还是减小？
我先想到：航天器从内轨道升到远地点，我以为它已经获得很多能量，速度应该比外圆轨道更大。
检查这个想法：转移椭圆在远地点速度最小。若此处速度恰等于外圆速度，就已经在外圆轨道上，不会继续沿原椭圆返回。
修正之后：在 Q 点必须顺行加速，故 \(v_{2Q}<v_{3Q}\)。
留下的方法：切点变轨比较的是同一位置点火前后的速度，不要比较不同位置的直觉快慢。
现实同构案例
通信卫星升轨：两次点火完成霍曼转移
现实场景
运载火箭先把通信卫星送入较低的圆形停泊轨道。卫星在近地点顺行点火进入转移椭圆，到达远地点后再次顺行点火，把轨道圆化到更高的工作轨道。
题目与现实如何对应
停泊圆轨道、转移椭圆和高圆轨道分别对应题中的轨道 1、2、3；两次点火位置对应 P、Q。点火会改变瞬时速度和轨道机械能，但在两次点火之间，航天器只受引力作用，沿椭圆轨道自由下落。
不变的物理模型
轨道不是“没有重力”，而是持续自由落体。机械能由整条轨道的半长轴决定：\(\varepsilon=-GM/(2a)\)；周期满足 \(T^2\propto a^3\)。但某一瞬间的引力加速度只由当前位置决定：\(a_g=GM/r^2\)，所以同一 P 点无论属于圆轨道还是椭圆轨道，加速度都相同。
现实中还要补上的因素
- 真实点火持续有限时间，不是理想的瞬时速度突变。
- 地球并非完全球形，月球、太阳和稀薄大气都会造成轨道摄动。
- 若两条圆轨道不共面，还必须分配燃料修正轨道倾角。
带回原题想一想
在 P 点点火前后，航天器的速度发生突变，而加速度为什么可以在理想模型中保持相同？请区分发动机点火瞬间与点火结束后的受力。
查看参考答案与评分要点
参考答案
理想变轨把点火看成持续时间趋近于零的冲量，速度在 P 点突变。点火结束后，航天器无论处在圆轨道还是转移椭圆，都只受地球引力；因为位置半径同为 \(r_P\)，加速度均为 \(GM/r_P^2\)。若考虑真实的有限时间点火，燃烧期间还受推力，合加速度当然会与只受引力时不同。
评分要点
- 指出点火结束后同一位置的引力相同，因此加速度相同。
- 区分速度由状态决定与加速度由当前合力决定。
- 说明真实点火期间存在推力，理想模型将其压缩为瞬时冲量。
变式练习
进阶近似题：转移轨道两次点火量比较
航天器从半径 \(r\) 的圆轨道经霍曼转移进入半径 \(4r\) 的圆轨道。分别求近地点和远地点点火前后的速度表达式，并比较两次速度增量 \(\Delta v_1、\Delta v_2\) 的大小。
变式答案
令 \(v_0=\sqrt{GM/r}\)。转移椭圆半长轴 \(a=5r/2\)。近地点转移速度 \(v_p=v_0\sqrt{8/5}\)，故 \(\Delta v_1=v_0(\sqrt{8/5}-1)\)。远地点转移速度 \(v_a=v_0\sqrt{1/10}\)，外圆速度 \(v_3=v_0/2\)，故 \(\Delta v_2=v_0(1/2-1/\sqrt{10})\)。数值上 \(\Delta v_1\gt\Delta v_2\)。
思路提示
**解题思路**
圆轨道用 \(v=\sqrt{GM/r}\)，椭圆切点用活力公式 \(v^2=GM(2/r-1/a)\)。两次点火都比较同一点的前后速度。