题目
主动齿轮 A 带动从动齿轮 B 及水平转台匀速转动。质量为 \(m\) 的滑块置于转台上，通过长为 \(L\) 的不可伸长细线连接力传感器，细线刚好伸直。A、B 齿数分别为 \(n_1、n_2\)，滑块与转台间动摩擦因数为 \(\mu\)。改变 A 的角速度 \(\omega\)，记录传感器示数 \(F\)，所得 \(F-\omega^2\) 图像正向延长线与横轴交于 \(a\)，与纵轴交于 \(-b\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. A、B 的角速度之比为 \(n_2:n_1\)
- B. 图像中 \(a=\dfrac{\mu g}{L}\)
- C. 当 \(\omega=\sqrt{\dfrac{3\mu gn_2^2}{2n_1^2L}}\) 时，\(F=\dfrac32\mu mg\)
- D. 若增大滑块质量，则图像中 \(b/a\) 将变大
学习定位
圆周运动动力学
题族：齿轮转台与向心力
训练能力：传动比换算、向心力图像分析
前置知识：齿轮传动、静摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立传动关系
啮合点线速度相等：\(\omega_A n_1=\omega_B n_2\)，所以 \(\omega_A:\omega_B=n_2:n_1\)。
2. 写拉力函数
当细线和摩擦共同提供向心力时，\(F+\mu mg=m\omega_B^2L\)。代入 \(\omega_B=(n_1/n_2)\omega\)，得 \(F=mL(n_1/n_2)^2\omega^2-\mu mg\)。
3. 读取截距
\(b=\mu mg\)，\(a=\mu g(n_2/n_1)^2/L\)，故 \(b/a=mL(n_1/n_2)^2\)，随 \(m\) 增大。题给 C 的角速度对应 \(F=\mu mg/2\)，不是 \(3\mu mg/2\)。故 A、D 正确。
初学者探索过程
齿轮加图像题，我分两次建模
先把主动轮转速换成转台转速，再建立拉力与转速平方的关系。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “齿数越多，角速度越大？”
先回答：两个齿轮啮合处线速度相等。若 B 的齿数是 A 的数倍，\(\omega_B/\omega_A\) 应是多少？
我先想到：我看到大齿轮周长更大，直觉上觉得它可能转得更快。
检查这个想法：啮合点线速度相同，大齿轮每转一圈走过更多齿，所以角速度更小。
修正之后：由 \(\omega_An_1=\omega_Bn_2\) 得角速度与齿数成反比。
留下的方法：齿轮传动先守住接触点线速度相等。
2. 负纵截距意味着什么
先回答：把拉力图像的直线延长到负纵截距时，负值代表绳产生了推力，还是代表低速区模型的约束发生了变化？
我先想到：直线延长出现负拉力，我怀疑方程错了。
检查这个想法：数学直线描述“拉力加摩擦共同提供向心力”的区段；低速时摩擦可独自承担，绳不会产生负拉力。
修正之后：负截距用于读出摩擦项，不代表细线能推物体。
留下的方法：图像延长线可提供参数，但要检查其区段是否物理可实现。
现实同构案例
旋转测试台：用拉力—转速图反推摩擦与传动比
现实场景
实验室用齿轮驱动旋转台，样品由拉力传感器限制在固定半径。改变电机转速并记录拉力，可判断摩擦力和齿轮减速比是否符合设计。
题目与现实如何对应
主动、从动齿轮对应转速变换；样品所需向心力由绳拉力和摩擦共同提供；图像斜率与截距分别编码质量、半径、齿数比和摩擦。
不变的物理模型
啮合处线速度相等给 \(\omega_An_1=\omega_Bn_2\)。再由 \(F+\mu mg=m\omega_B^2L\)，得到 \(F\) 关于 \(\omega_A^2\) 的直线，纵截距为负摩擦项。
现实中还要补上的因素
- 低速时往往是静摩擦，传感器示数会出现分段而非无限延长的直线。
- 齿隙、轴承摩擦和转台振动会影响读数。
带回原题想一想
图线向下延长得到负拉力是否代表绳真的能推物体？它实际提示了哪个分段边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
负拉力只是把有效区间内的直线关系向低速外推得到的数学值，绳只能受拉，不能推物体。低速时，所需向心力可由静摩擦独自提供，绳保持松弛，传感器示数应为 \(F=0\)。直线与横轴的交点表示“摩擦刚好不能再独立提供所需向心力、绳开始绷紧受力”的临界转速。
评分要点
- 指出细绳不能提供负拉力或推力。
- 说明低速区由静摩擦独自提供向心力，拉力为零。
- 指出横轴交点代表绳开始受力的分段边界。
变式练习
进阶近似题：静摩擦与拉力的分段图像
把原题中的动摩擦改为最大静摩擦因数 \(\mu_s\)，细线初始松弛量可忽略但只能受拉。随主动齿轮角速度从 0 增大，画出传感器示数 \(F\) 关于 \(\omega^2\) 的分段关系，并给出开始有示数的临界角速度。
变式答案
低速时静摩擦独自提供向心力，\(F=0\)。当 \(m\omega_B^2L=\mu_smg\) 时达到临界，故 \(\omega_c=(n_2/n_1)\sqrt{\mu_sg/L}\)。此后 \(F=mL(n_1/n_2)^2\omega^2-\mu_smg\)，图像先沿横轴，再接一条斜直线。
思路提示
**解题思路**
先判断约束何时真正受力。细线不能推物体，因此数学直线的负值部分在物理上应被 \(F=0\) 的区段替代。