题目
科技小组利用小孔成像和万有引力知识估测太阳密度。小孔到屏幕的距离为 \(D\)，屏上太阳像的直径为 \(d\)，地球绕太阳公转周期为 \(T\)，引力常量为 \(G\)。地球到太阳中心的距离远大于太阳半径，且小角度时近似有 \(\sin\theta=\tan\theta\)。太阳的密度为（ ）。
选项
- A. \(\dfrac{3\pi}{GT^2}\left(\dfrac{D}{d}\right)^3\)
- B. \(\dfrac{3\pi}{GT^2}\left(\dfrac{d}{D}\right)^3\)
- C. \(\dfrac{24\pi}{GT^2}\left(\dfrac{D}{d}\right)^3\)
- D. \(\dfrac{24\pi}{GT^2}\left(\dfrac{d}{D}\right)^3\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：天体密度估测
训练能力：跨模型信息提取、密度公式推导
前置知识：相似三角形、开普勒第三定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由成像求半径比
设日地距离为 \(r\)、太阳半径为 \(R\)。太阳像直径为 \(d\)，故由相似三角形 \(R/r=d/(2D)\)，即 \(r/R=2D/d\)。
2. 由公转求太阳质量
地球近似做圆周运动：\(GM/r^2=4\pi^2r/T^2\)，因此 \(M=4\pi^2r^3/(GT^2)\)。
3. 求平均密度
\(\rho=M/(4\pi R^3/3)=\dfrac{3\pi}{GT^2}(r/R)^3=\dfrac{24\pi}{GT^2}(D/d)^3\)，故选 C。
初学者探索过程
两个看似不够的测量，怎样组合出太阳密度
我先列目标 \(\rho=M/V\)，再分别寻找质量和半径能从哪些观测关系得到。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “没有日地距离，半径和质量都求不出？”
先回答：把未知日地距离记为 \(r\)。太阳质量和体积各含 \(r\) 的几次幂？在密度 \(M/V\) 中能否消去？
我先想到：小孔成像只给视角，公转周期也没有轨道半径，我觉得数据不完整。
检查这个想法：目标是密度而非单独的质量、半径；质量和体积都可能含同一个未知距离的三次方。
修正之后：保留 \(R/r=d/(2D)\)，再把 \(M\propto r^3/T^2\) 代入密度，\(r^3\) 正好消去。
留下的方法：目标是比值时，不必先求出每个绝对量。
2. 先保持符号再代数化简
先回答：屏上给的是太阳像的直径 \(d\)，而体积公式需要太阳半径 \(R\)。相似三角形应写 \(R/r=d/D\) 还是 \(d/(2D)\)？
我先想到：我一开始急着代 \(d、D\)，容易漏掉直径的 2。
检查这个想法：像的直径对应太阳直径，半径比应为 \(R/r=d/(2D)\)。
修正之后：先画相似三角形并写半径比，最后统一代入。
留下的方法：几何量先核对半径与直径，再进入动力学公式。
现实同构案例
纸板小孔加轨道周期：不用靠近太阳也能估密度
现实场景
把带小孔的纸板对准太阳，在屏上测像的直径，就能得到太阳的角直径；再结合地球公转周期，可把几何观测与引力规律拼成太阳平均密度。
题目与现实如何对应
小孔成像给出太阳半径与日地距离之比，公转周期给出太阳质量与日地距离立方的关系。两式相除后，未知的绝对距离消去。
不变的物理模型
相似三角形给 \(R/r=d/(2D)\)，圆轨道动力学给 \(M=4\pi^2r^3/(GT^2)\)。代入 \(\rho=3M/(4\pi R^3)\) 后只剩可测的 \(D/d\)、\(T\) 与 \(G\)。
现实中还要补上的因素
- 直接观测太阳必须使用安全滤光措施，不能用眼睛对准强光。
- 地球轨道略有偏心，太阳边缘和小孔衍射也会带来测量误差。
带回原题想一想
为什么题目不需要给出日地距离？指出质量和体积中同时出现并被约去的量。
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参考答案
由地球公转有 \(M=4\pi^2r^3/(GT^2)\)，太阳质量中含有日地距离的三次方 \(r^3\)。小孔成像给 \(R/r=d/(2D)\)，所以太阳体积 \(V=4\pi R^3/3\) 也含有同一个 \(r^3\)。计算 \(\rho=M/V\) 时，分子和分母中的 \(r^3\) 完全约去，因此不需要知道日地距离的绝对值。
评分要点
- 指出轨道动力学给出的质量含 \(r^3\)。
- 指出小孔成像使太阳体积同样含 \(r^3\)。
- 明确说明密度比值中 \(r^3\) 被约去。
变式练习
进阶近似题：双重观测反推恒星密度
一颗行星绕恒星做近圆运动，周期为 \(T\)。观测到恒星角直径为 \(\delta\)，并由雷达测得行星轨道半径为 \(r\)。先不用 \(r\) 直接写出恒星平均密度关于 \(T、\delta\) 的表达式，再解释为什么轨道半径会消去。
变式答案
小角度下 \(R/r\approx\delta/2\)。由 \(M=4\pi^2r^3/(GT^2)\)，有 \(\rho=3M/(4\pi R^3)=24\pi/(GT^2\delta^3)\)。质量和体积都含 \(r^3\)，取比后轨道尺度消去。
思路提示
**解题思路**
先保留无量纲比值 \(r/R\)，不要过早代入绝对距离。密度本质上由周期和视角共同决定。
真题拓展
毫秒脉冲星稳定自转的最低密度
高考真题 · 高度同构
2018年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
两题都把天体质量写成密度与体积，再用万有引力和周期条件消去质量、半径，得到只含周期与引力常量的密度关系。
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