题目
跳台滑雪中，一位总质量为 \(60\,\mathrm{kg}\) 的运动员从起跳平台 A 点以 \(20\,\mathrm{m/s}\) 的速度沿水平方向飞出，在倾角为 \(30^\circ\) 的斜坡 B 点着陆。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 从 A 点飞出到 B 点所用时间为 \(4\,\mathrm s\)
- B. 从 A 到 B 的过程中重力做功为 \(4000\sqrt3\,\mathrm J\)
- C. 从 A 到 B 的过程中重力的平均功率为 \(12000\,\mathrm W\)
- D. 落到 B 点时重力的瞬时功率为 \(8000\sqrt3\,\mathrm W\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：抛体过程中的功率
训练能力：速度分量求解、瞬时功率计算
前置知识：平抛运动、功率
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求落到斜坡的时间
取 A 为原点，\(x=v_0t\)、\(y=gt^2/2\)，落点满足 \(y=x\tan30^\circ\)。解得 \(t=2v_0\tan30^\circ/g=4/\sqrt3\,\mathrm s\)。
2. 求重力功和平均功率
下降高度 \(h=gt^2/2=80/3\,\mathrm m\)，故 \(W_G=mgh=1.60\times10^4\,\mathrm J\)，平均功率 \(\bar P=W_G/t=4000\sqrt3\,\mathrm W\)。
3. 求落地瞬时功率
落地时竖直速度 \(v_y=gt=40/\sqrt3\,\mathrm{m/s}\)。重力瞬时功率 \(P_G=mgv_y=8000\sqrt3\,\mathrm W\)，故选 D。
初学者探索过程
落点未知时，我让轨迹和斜坡相交
我先选起跳点为原点，把运动方程和坡面方程写在同一坐标系中。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “没有水平距离，飞行时间算不了？”
先回答：落点坐标未知，但它同时满足抛体轨迹和斜坡直线。请写出这两个位置条件，并指出可消去哪个未知量。
我先想到：题目没给落点位置，我一开始觉得条件不足。
检查这个想法：落点必须同时在抛物线上和斜坡上，斜坡方程本身就是缺少的条件。
修正之后：联立 \(x=v_0t\)、\(y=gt^2/2\) 与 \(y=x\tan30^\circ\) 求时间。
留下的方法：落到斜面题，用轨迹与边界的交点条件补足未知落点。
2. 瞬时功率为何不用总速度
先回答：落地前速度同时有水平、竖直分量。重力的瞬时功率应与哪个分量有关？请用点积写出表达式。
我先想到：我想写 \(P=mgv\)。
检查这个想法：功率是点积，水平方向速度与重力垂直，不贡献功率。
修正之后：写 \(P_G=\vec G\cdot\vec v=mgv_y\)。
留下的方法：瞬时功率先找力方向上的速度分量。
现实同构案例
滑雪跳台落坡：用坡面条件确定飞行时间
现实场景
跳台设计会让运动员的抛物线轨迹与着陆坡较平顺地相交。已知起跳速度和坡度时，落点不是先给定的，而由轨迹与斜坡的交点决定。
题目与现实如何对应
起跳台对应水平抛出点，着陆区对应过原点的斜线。题中 \(y=x\tan\theta\) 是“落在坡上”的几何条件，随后才能求下降高度、重力功率。
不变的物理模型
平抛满足 \(x=v_0t\)、\(y=gt^2/2\)。重力平均功率是 \(mgh/t\)，瞬时功率是 \(\vec F\cdot\vec v=mgv_y\)；后者只取速度沿重力方向的分量。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和升力会改变轨迹与速度。
- 真实着陆还关注速度相对坡面的法向分量，以降低冲击。
带回原题想一想
为什么落地瞬间重力功率不用总速度，而只用竖直速度 \(v_y\)？
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参考答案
瞬时功率是力与速度的点积：\(P=\vec F\cdot\vec v\)。重力竖直向下，所以只有速度在竖直方向的分量与重力做功，水平速度与重力垂直，对功率贡献为零。因此落地瞬间 \(P_G=mgv_y\)，其中 \(v_y\) 取沿重力方向的分量。
评分要点
- 写出瞬时功率的点积形式 \(P=\vec F\cdot\vec v\)。
- 说明水平速度与重力垂直，对功率没有贡献。
- 得到 \(P_G=mgv_y\) 并说明分量方向。
变式练习
进阶近似题：斜面落点的功率最值
质量为 \(m\) 的滑雪者以水平速度 \(v_0\) 从斜面顶端飞出，斜面倾角为 \(\theta\)。忽略空气阻力，推导落地前重力平均功率与落地瞬时功率之比，并判断该比值是否依赖 \(v_0\)。
变式答案
落地时间 \(t=2v_0\tan\theta/g\)，下降高度 \(h=gt^2/2\)。于是 \(\bar P=mgh/t=mg^2t/2\)，而 \(P_\text{末}=mg(gt)=mg^2t\)。故 \(\bar P:P_\text{末}=1:2\)，与 \(v_0\) 和 \(\theta\) 均无关。
思路提示
**解题思路**
不必先展开落点坐标。竖直速度从 0 线性增加到 \(gt\)，所以重力功率也线性增加，时间平均值必为末值的一半。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
真题与原题都从水平抛出出发，把平抛分运动、机械能和末速度方向连接起来；原题再追问重力的平均功率与瞬时功率。
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