题目
将小物块轻放在以 \(5\,\mathrm{m/s}\) 匀速运动的足够长传送带上，一段时间内小物块从 \(1\,\mathrm{m/s}\) 匀加速至 \(3\,\mathrm{m/s}\)，不计空气阻力。这段时间内物块增加的动能、系统因摩擦产生的热量、传送带因传送物块而多消耗的电能之比为（ ）。
选项
- A. \(2:5:8\)
- B. \(2:3:5\)
- C. \(1:2:3\)
- D. \(1:1:2\)
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量分配
训练能力：能量流向分析、摩擦生热计算
前置知识：功能关系、相对位移
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参考答案
分步解析
1. 用冲量表示作用时间
设摩擦力为 \(f\)、作用时间为 \(t\)。有 \(ft=m(3-1)=2m\)。
2. 求三种能量
物块动能增加 \(\Delta E_k=m(3^2-1^2)/2=4m\)。相对位移为 \(5t-(1+3)t/2=3t\)，故热量 \(Q=f\cdot3t=6m\)。传送带多消耗电能 \(E=f\cdot5t=10m\)。
3. 化简比值
\(\Delta E_k:Q:E=4:6:10=2:3:5\)，故选 B。
初学者探索过程
三种能量容易混，我先做一张能量账本
我先圈出三个对象或去向：物块动能、接触面内能、维持带速的电动机。然后逐项问“哪一个力，在谁走过的哪段位移上做功”。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “同一个摩擦力，所以三种能量一样？”
先回答：请给 \(fs\) 中的位移加对象下标：物块动能增加、电机多做功和摩擦生热分别对应哪一个位移？
我先想到：三项都和摩擦有关，我差点认为它们都等于 \(fs\)。
检查这个想法：摩擦力虽然相同，但皮带、物块和相对滑动采用的位移不同。没有先说明位移，\(fs\) 并不是完整答案。
修正之后：物块动能增量用物块位移，电机多做功用皮带位移，热量用相对位移。
留下的方法：功能关系中写功之前，必须给位移加对象下标。
2. “摩擦生热等于物块动能增加？”
先回答：从“只研究物块”和“研究物块与传送带接触系统”两个对象出发，分别写出摩擦做功和摩擦生热的表达式。
我先想到：摩擦使物块加速，我以为摩擦做的功同时就是产生的热。
检查这个想法：对物块而言，摩擦做正功变成动能；对物块和传送带组成的系统，接触面还存在相对滑动，才产生内能。二者不是同一笔账。
修正之后：\(\Delta K=f s_{物}\)，而 \(Q=f(s_{带}-s_{物})\)。
留下的方法：摩擦做功与摩擦生热是不同概念：一个看单个物体位移，一个看接触面的相对位移。
3. 用总账检查比例
先回答：若电机新增能量只转化为物块动能和摩擦热，三个量必须满足什么总账关系？用它先筛查给出的比例。
我先想到：算出三个数后，我担心漏项。
检查这个想法：电动机新增的能量最终只能进入物块动能和摩擦热，因此应该满足能量总账。
修正之后：本题 \(E_{电}=\Delta K+Q\)，即比例中的第三项必须等于前两项之和；\(2:3:5\) 通过检查。
留下的方法：多种能量分配题最后用守恒式做一次总账复核。
现实同构案例
机场行李落上传送带：电能没有全部变成行李动能
现实场景
行李以低于传送带的速度落到机场行李带上。接触后行李相对皮带向后滑，皮带通过滑动摩擦使行李加速；驱动电机为了维持皮带速度，需要额外输出能量。
题目与现实如何对应
题中的物块对应行李，匀速传送带对应由电机稳速驱动的行李带。摩擦力对行李做正功，使其动能增加；同一摩擦力对皮带形成阻力，电机要多做功；接触面的相对滑动把一部分机械能转化为内能。
不变的物理模型
用能量账本最清楚：\(W_{电机}=\Delta K_{行李}+Q\)。其中 \(W_{电机}=f s_{带}\)，\(\Delta K=f s_{物}\)，\(Q=f(s_{带}-s_{物})\)。三个量使用的位移不同，这正是原题比值不能只凭“同一个摩擦力”判断的原因。
现实中还要补上的因素
- 真实电机和传动机构自身也有损耗，所以插座输入电能会大于题中的“因传送物块而多消耗的电能”。
- 行李可能翻滚或发生非恒定摩擦，物块模型只保留平动。
- 控制系统会调节电机转矩以维持带速，理想题目把带速视为严格不变。
带回原题想一想
若把摩擦热错误地写成 \(f s_{物}\)，会把哪一部分能量重复或遗漏？请用“皮带走了多远、行李走了多远”解释。
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参考答案
\(fs_{物}\) 是摩擦力对行李做的正功，等于行李动能增量，不是接触面产生的热。摩擦热应由相对滑动距离决定：\(Q=f(s_{带}-s_{物})\)。若再把 \(fs_{物}\) 当作热量，就会把已经计入行李动能的能量重复计算，同时遗漏皮带相对行李多走的那段距离对应的真实耗散。
评分要点
- 区分摩擦对行李做功与摩擦生热。
- 写出 \(Q=f(s_{带}-s_{物})\)。
- 说明错误写法会重复计算行李动能并遗漏真实相对滑动耗散。
变式练习
进阶近似题：传送带先滑动后同速
水平传送带以速度 \(V\) 匀速运动，质量为 \(m\) 的物块以与传送带同向的初速度 \(u\) 放上，\(0\le u\lt V\)，最终与传送带同速。证明电动机多做的功、物块动能增量和摩擦热满足的关系，并求三者之比关于 \(u/V\) 的表达式。
变式答案
由 \(ft=m(V-u)\)。电动机多做功 \(W=fVt=mV(V-u)\)；物块动能增量 \(\Delta K=m(V^2-u^2)/2\)；热量 \(Q=f[(V-(V+u)/2)t]=m(V-u)^2/2\)。且 \(W=\Delta K+Q\)。令 \(\lambda=u/V\)，则 \(\Delta K:Q:W=(1-\lambda^2):(1-\lambda)^2:2(1-\lambda)\)。
思路提示
**解题思路**
用同一个摩擦冲量 \(ft\) 消去未知的摩擦力和时间。摩擦热必须使用相对位移，而电动机功使用传送带位移。
真题拓展
机场行李在倾斜传送带上的分段运动
高考真题 · 同一考点
2021年辽宁卷 · 第13题
真题要求先判断包裹相对传送带的运动方向和摩擦力，再分段计算；这正是进一步分析摩擦生热与传送带额外耗能的运动学基础。
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