题目
手握不可伸长轻绳一端，另一端系质量 \(m=0.2\,\mathrm{kg}\) 的小球，绳长 \(l=0.5\,\mathrm m\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）小球做圆锥摆且绳与竖直方向夹角为 \(37^\circ\) 时的周期；（2）手不动，把小球提到手的正上方，绳竖直伸直且无张力，再以水平速度 \(1\,\mathrm{m/s}\) 抛出，绳再次伸直的时间；（3）绳最大拉力为 \(12\,\mathrm N\)，手离地 \(h=1.6\,\mathrm m\)。改变绳长，使小球在竖直面内做圆周运动并在最低点刚好断绳，求最大水平距离。已知 \(\sin37^\circ=0.6、\cos37^\circ=0.8、\pi=3.14\)。
学习定位
圆周运动动力学
题族：绳球约束变化与抛体
训练能力：约束状态切换、抛体最值求解
前置知识：圆锥摆、竖直圆周运动、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 第（1）问：圆锥摆周期
竖直方向 \(T_s\cos37^\circ=mg\)，水平方向 \(T_s\sin37^\circ=m\omega^2(l\sin37^\circ)\)。消去张力得 \(\omega^2=g/(l\cos37^\circ)=25\)，故 \(T=2\pi/\omega=2\pi/5\,\mathrm s\approx1.26\,\mathrm s\)。
2. 第（2）问：绳再次伸直
以手为原点，向下为正。小球初始在手的正上方，位置为 \((0,-l)\)，抛出后 \(x=vt、y=-l+gt^2/2\)。绳再次伸直满足 \(x^2+y^2=l^2\)，除去 \(t=0\) 后有 \(t=2\sqrt{lg-v^2}/g=0.40\,\mathrm s\)。
3. 第（3）问：最低点断绳速度
最低点有 \(T_{\max}-mg=mv^2/l\)。代入 \(12-2=0.2v^2/l\)，得 \(v^2=50l\)。该条件还使最高点速度满足临界圆周条件。
4. 第（3）问：优化水平射程
断绳点离地高度为 \(h-l\)，射程平方 \(x^2=v^2\cdot2(h-l)/g=10l(1.6-l)\)。二次函数在 \(l=0.8\,\mathrm m\) 取最大值，故 \(x_{\max}=\sqrt{6.4}=4\sqrt{10}/5\,\mathrm m\)。
初学者探索过程
绳的状态改变时，我重新选择模型
我把题目分成绳拉紧、绳松弛、绳断裂三种状态，每次状态变化都重新画受力。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 松绳阶段还能用圆周运动吗
先回答：绳子松弛时能否提供推力？请先判断张力是否为正，再决定用抛体模型还是圆周运动模型。
我先想到：小球系着绳，我想从抛出开始一直套半径 \(l\) 的圆周方程。
检查这个想法：绳无张力时不能推小球，也没有圆周约束；小球先只受重力做抛体。
修正之后：用抛体坐标求小球到手的距离，首次再次等于 \(l\) 时绳才重新拉紧。
留下的方法：约束存在不等于约束正在起作用，要先检查张力能否为正。
2. 最长绳为何不是最大射程
先回答：增大绳长会同时增大断绳速度、降低断点高度。请分别判断这两种变化对水平射程的影响，再决定是否单调。
我先想到：最低点速度随绳长增大，我以为绳越长射程越远。
检查这个想法：绳越长，断点越靠近地面，飞行时间同时缩短。
修正之后：把两种效应合在 \(x^2=10l(1.6-l)\) 中，再在允许范围求最大值。
留下的方法：优化题先找自变量带来的相反效应，再建立完整函数。
现实同构案例
链球与安全绳：约束建立、松弛和断裂是三种阶段
现实场景
旋转链球、游乐设施安全绳和抛射装置都会经历绳被拉紧、可能松弛以及超过强度后断裂的阶段。断裂瞬间，物体沿切线速度进入抛体运动。
题目与现实如何对应
圆锥摆对应稳定拉紧阶段；从手上方抛出对应绳先松弛后再次达到固定长度；最低点断绳对应张力达到材料极限后切换为平抛。
不变的物理模型
绳只能拉不能推。拉紧时由张力和重力提供向心力；松弛时小球先做抛体，直到与手的距离重新等于绳长；断裂后保留瞬时速度，水平射程由断点速度和离地高度共同决定。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长，断裂强度受磨损和冲击载荷影响。
- 空气阻力与释放角误差会改变最大射程。
带回原题想一想
优化射程时为什么绳越长不一定越好？说明绳长怎样同时增大断绳速度又降低断点高度。
查看参考答案与评分要点
参考答案
绳长增大时，小球在受约束运动中可经历更大的高度差，断绳速度通常增大；但最低断点离地高度同时变为 \(H-l\)，绳越长，断点越低，断绳后的飞行时间越短。水平射程近似为 \(x=v_{断}\sqrt{2(H-l)/g}\)，两个因子随 \(l\) 呈相反趋势，因此最大射程一般出现在允许区间内部，而不是最长绳处。
评分要点
- 说明绳长增加会提高断绳速度或可转化的动能。
- 说明绳长增加会降低断点高度和飞行时间。
- 用射程是速度与飞行时间乘积解释存在最优绳长。
变式练习
进阶近似题：断绳点可调的二维优化
质量为 \(m\) 的小球在竖直圆周上运动，绳长为 \(l\)，手离地高度为 \(h\)。若绳在圆周最低点后转过角 \(\phi\) 时断裂，断裂速度由机械能守恒确定。建立水平射程关于 \(l、\phi\) 的表达式，并说明求最大值时必须同时满足哪些约束。
变式答案
断裂点坐标和速度分量由圆周几何给出，设最低点速度为 \(v_0\)，则 \(v^2=v_0^2-2gl(1-\cos\phi)\)。断裂高度为 \(y=h-l\cos\phi\)，速度分量为 \(v_x=v\cos\phi、v_y=v\sin\phi\)。飞行时间取 \(y+v_yt-gt^2/2=0\) 的正根，射程 \(X=v_xt\)。优化时还需满足绳张力非负、断裂前不断绳、断裂点高于地面和 \(v_x\ge0\)。
思路提示
**解题思路**
原题只优化绳长；进阶题把断裂角也作为变量。先用圆周能量得到速度，再接抛体运动，最后在物理可行域内做双变量优化。
真题拓展
轻绳断裂前后的分段运动与机械能
高考真题 · 同一考点
2022年河北卷 · 第9题
真题同样以绳突然断裂为过程分界，比较断裂前的连接体运动和断裂后的独立运动；原题进一步加入圆周约束与落点最值。
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