题目
倾角 \(\theta=37^\circ\)、长度 \(L=8\,\mathrm m\) 的传送带以 \(v_0=2\,\mathrm{m/s}\) 顺时针转动。质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的包裹被轻放在下端 \(A\)，包裹与传送带间的动摩擦因数 \(\mu=0.8\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，\(\sin37^\circ=0.6\)，\(\cos37^\circ=0.8\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 包裹从 \(A\) 到 \(B\) 的过程中始终做匀加速直线运动
- B. 传送带对包裹的摩擦力做功 \(32\,\mathrm J\)
- C. 传送带对包裹的摩擦力做功 \(50\,\mathrm J\)
- D. 包裹与传送带因摩擦产生的热量为 \(50\,\mathrm J\)
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量与往返过程
训练能力：分阶段相对运动、电功热量动能分配
前置知识：相对位移、功能关系
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 判断运动阶段
包裹刚放上时相对传送带向下滑，滑动摩擦力沿斜面向上，大小 \(f=\mu mg\cos37^\circ=6.4\,\mathrm N\)。沿斜面合力为 \(6.4-6=0.4\,\mathrm N\)，故加速度 \(a=0.4\,\mathrm{m/s^2}\)。达到带速需 \(5\,\mathrm s\)，位移 \(5\,\mathrm m\)；余下 \(3\,\mathrm m\) 与传送带同速匀速运动，A 错。
2. 计算摩擦力对包裹做功
滑动阶段摩擦力做功 \(W_{f1}=6.4\times5=32\,\mathrm J\)。同速后，为平衡沿斜面向下的重力分力，静摩擦力大小为 \(6\,\mathrm N\)，继续做功 \(W_{f2}=6\times3=18\,\mathrm J\)。所以
\[
W_f=32+18=50\,\mathrm J.
\]
C 正确，B 错。
易错点
- 认为静摩擦力一定不做功
3. 计算摩擦生热
只有相对滑动阶段产生热量。前 \(5\,\mathrm s\) 内传送带移动 \(10\,\mathrm m\)，包裹移动 \(5\,\mathrm m\)，相对路程为 \(5\,\mathrm m\)。因此
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]
D 错。答案为 C。
初学者探索过程
从“传送带能量与往返过程”开始探索
先把“A组第2题：倾斜传送带传送包裹”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第2题：倾斜传送带传送包裹”后，判断为什么“用滑块对地位移代替相对路程”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用滑块对地位移代替相对路程。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“电功热量动能分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段相对运动、电功热量动能分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“传送带能量与往返过程”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“A组第2题：倾斜传送带传送包裹”训练的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“A组第2题：倾斜传送带传送包裹”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=6.4\times5=32\,\mathrm J,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：倾斜带上的分段摩擦功
**基础设问**
倾角 \(30^\circ\) 的传送带以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 向上运行。质量 \(2\,\mathrm{kg}\) 的物块从静止放上后，以 \(1\,\mathrm{m/s^2}\) 加速至带速，再随带匀速上行 \(2\,\mathrm m\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求全程摩擦力对物块做的功。
**综合提升**
在原粗糙运动模型中，把摩擦因数设为分段值：前半程为 \(\mu_1\)，后半程为 \(\mu_2\)。（1）用全过程动能定理求末速度；（2）反求恰好到达终点时 \(\mu_1,\mu_2\) 的关系；（3）若原路返回，写出往返总摩擦功；（4）说明为什么只看位移不能求摩擦功。
变式答案
**1. 基础设问**
加速段位移 \(s_1=v^2/(2a)=4.5\,\mathrm m\)。由动能定理，\(W_{f1}-mg\sin30^\circ s_1=\frac12mv^2\)，得 \(W_{f1}=54\,\mathrm J\)。匀速段 \(W_{f2}=mg\sin30^\circ\times2=20\,\mathrm J\)，总功 \(74\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
若两段路程分别为 \(s_1,s_2\)，法向力为 \(N_1,N_2\)，则
\[\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2=W_{其他}-\mu_1N_1s_1-\mu_2N_2s_2.\]
恰好到达时令 \(v_2=0\) 即得参数关系。原路返回时摩擦仍做负功，往返总摩擦功按总路程相加而不是按净位移抵消。
思路提示
**基础思路**
把相对滑动和共同运动分开；两阶段摩擦力都可能对物块做正功。
**进阶思路**
把路径按受力规律分段，每段独立算功后再一次性连接初末动能；摩擦功依赖路程。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“传送带功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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