题目
（多选）物体以速度 \(v_0\) 沿倾角为 \(\theta\) 的粗糙斜面上滑，到最高点后再沿斜面下滑，回到出发点时速度为 \(\frac12v_0\)。下列判断正确的是（ ）。
选项
- A. 动摩擦因数 \(\mu=\frac35\tan\theta\)
- B. 上滑时的加速度大小是下滑时的 \(\frac14\)
- C. 沿斜面上滑的最大距离为 \(\frac{5v_0^2}{16g\sin\theta}\)
- D. 往返过程中摩擦力做功为 \(\frac14mv_0^2\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：往返运动与摩擦耗能
训练能力：全过程动能定理、路程位移区分
前置知识：摩擦功、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 分别列上滑和下滑的动能定理
设最大上滑距离为 \(s\)。上滑有
\[
\frac12mv_0^2=mg(\sin\theta+\mu\cos\theta)s.
\]
下滑回原点有
\[
\frac12m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2=mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)s.
\]
2. 求摩擦因数和加速度比
两式相除得
\[
\frac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}=\frac14,
\]
解得 \(\mu=\frac35\tan\theta\)，A 正确。相应地 \(a_{\mathrm{上}}/a_{\mathrm{下}}=4\)，所以 B 的“\(1/4\)”错误。
3. 求最大距离和摩擦功
代回上滑方程：
\[
s=\frac{5v_0^2}{16g\sin\theta},
\]
C 正确。往返摩擦功
\[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]
不是正的 \(\frac14mv_0^2\)，D 错。答案为 A、C。
易错点
- 忽略摩擦功为负
初学者探索过程
从“往返运动与摩擦耗能”开始探索
先把“A组第3题：粗糙斜面上滑再返回”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第3题：粗糙斜面上滑再返回”后，判断为什么“把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“全过程动能定理、路程位移区分”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“全过程动能定理”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“路程位移区分”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“全过程动能定理、路程位移区分”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“往返运动与摩擦耗能”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“A组第3题：粗糙斜面上滑再返回”训练的“全过程动能定理、路程位移区分”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“A组第3题：粗糙斜面上滑再返回”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_f=-2\mu mg\cos\theta\,s=-\frac38mv_0^2,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由返回速度反求摩擦
**基础设问**
物体以 \(v_0\) 沿粗糙斜面上滑，返回出发点时速度为 \(\frac13v_0\)。斜面倾角为 \(\theta\)，求动摩擦因数 \(\mu\)。
**综合提升**
在原粗糙运动模型中，把摩擦因数设为分段值：前半程为 \(\mu_1\)，后半程为 \(\mu_2\)。（1）用全过程动能定理求末速度；（2）反求恰好到达终点时 \(\mu_1,\mu_2\) 的关系；（3）若原路返回，写出往返总摩擦功；（4）说明为什么只看位移不能求摩擦功。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \(\frac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\sin\theta+\mu\cos\theta}=\frac19\)，解得 \(\mu=\frac45\tan\theta\)。
**2. 综合提升**
若两段路程分别为 \(s_1,s_2\)，法向力为 \(N_1,N_2\)，则
\[\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2=W_{其他}-\mu_1N_1s_1-\mu_2N_2s_2.\]
恰好到达时令 \(v_2=0\) 即得参数关系。原路返回时摩擦仍做负功，往返总摩擦功按总路程相加而不是按净位移抵消。
思路提示
**基础思路**
上、下行经过同一距离，分别列动能定理后相除，可以消去距离、质量和重力加速度。
**进阶思路**
把路径按受力规律分段，每段独立算功后再一次性连接初末动能；摩擦功依赖路程。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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