题目
（多选）质量 \(m=1000\,\mathrm{kg}\) 的氢能源汽车沿平直公路从静止开始运动。汽车在 \(0\sim t_1\) 内做匀加速运动，\(t_1\sim50\,\mathrm s\) 内保持额定功率，\(50\sim70\,\mathrm s\) 以 \(40\,\mathrm{m/s}\) 匀速行驶，\(70\,\mathrm s\) 末关闭动力并匀减速滑行，至 \(t_2\) 时刻停止。图中 \(t_1\) 时速度为 \(20\,\mathrm{m/s}\)。额定功率为 \(80\,\mathrm{kW}\)，阻力恒定。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 汽车从启动到停止共历时 \(t_2=100\,\mathrm s\)
- B. 汽车在 \(t_2\) 时间内牵引力最大值为 \(2000\,\mathrm N\)
- C. 汽车在 \(t_1\sim50\,\mathrm s\) 内共行驶 \(1200\,\mathrm m\)
- D. 汽车在 \(t_2\) 时间内克服阻力做功 \(5.2\times10^6\,\mathrm J\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：机车恒功率与分段启动
训练能力：牵引力速度关系、分阶段运动建模
前置知识：功率公式、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由最大速度求阻力
汽车在 \(40\,\mathrm{m/s}\) 时以额定功率匀速，故
\[
f=\frac{P}{v_m}=\frac{80\times10^3}{40}=2000\,\mathrm N.
\]
2. 确定 t₁ 和 t₂
恒牵引力阶段结束时 \(F=P/v_1=4000\,\mathrm N\)，加速度 \(a=(F-f)/m=2\,\mathrm{m/s^2}\)，所以 \(t_1=20/2=10\,\mathrm s\)。关闭动力后减速度 \(a'=f/m=2\,\mathrm{m/s^2}\)，从 \(40\,\mathrm{m/s}\) 减到零需 \(20\,\mathrm s\)，故 \(t_2=90\,\mathrm s\)。A、B 均错。
3. 求恒功率阶段位移
在 \(10\sim50\,\mathrm s\) 内，牵引力做功 \(Pt=3.2\times10^6\,\mathrm J\)。由
\[
Pt-fs=\frac12m(40^2-20^2),
\]
得 \(s=1300\,\mathrm m\)，所以 C 错。
易错点
- 用平均速度直接处理变加速阶段
4. 求全过程阻力功
四段位移依次为 \(100\,\mathrm m\)、\(1300\,\mathrm m\)、\(800\,\mathrm m\)、\(400\,\mathrm m\)，总位移 \(2600\,\mathrm m\)。克服阻力做功
\[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]
答案为 D。
初学者探索过程
从“机车恒功率与分段启动”开始探索
先把“例7：氢能源汽车分段启动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例7：氢能源汽车分段启动”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“牵引力速度关系”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分阶段运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“牵引力速度关系、分阶段运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“机车恒功率与分段启动”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例7：氢能源汽车分段启动”训练的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例7：氢能源汽车分段启动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_f=fs=2000\times2600=5.2\times10^6\,\mathrm J.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：额定功率汽车的阻力
**基础设问**
质量为 \(1200\,\mathrm{kg}\) 的汽车以额定功率 \(60\,\mathrm{kW}\) 行驶，最大速度为 \(30\,\mathrm{m/s}\)。若从 \(20\,\mathrm{m/s}\) 加速到最大速度经历 \(25\,\mathrm s\)，求阻力和该阶段位移。
**综合提升**
把原动力装置改为同时受最大牵引力 \(F_m\) 和额定功率 \(P_m\) 限制。（1）求恒力阶段切换到恒功率阶段的速度；（2）写出两阶段的加速度；（3）建立到达给定速度的最短时间表达式；（4）说明最优策略为何总是贴着约束上限运行。
变式答案
**1. 基础设问**
\(f=P/v_m=2000\,\mathrm N\)。由 \(Pt-fs=\frac12m(v_m^2-v_0^2)\)，得 \(s=600\,\mathrm m\)。
**2. 综合提升**
切换速度
\[v_c=\frac{P_m}{F_m}.\]
若阻力为 \(f\)，恒力阶段 \(a_1=(F_m-f)/m\)，恒功率阶段 \(a_2(v)=(P_m/v-f)/m\)。最短时间由
\[t=\frac{v_c-v_0}{a_1}+\int_{v_c}^{v_f}\frac{m\,dv}{P_m/v-f}\]
给出。任一时刻未用满允许牵引力或功率都会减小加速度，无法缩短时间。
思路提示
**基础思路**
最大速度对应牵引力等于阻力；恒功率变加速阶段用功—能关系求位移最直接。
**进阶思路**
先找两种约束的交点，再分段积分；这是把单一动能方程提升为带约束的最优控制。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料