题目
固定半圆形轨道槽内壁粗糙。一个可视为质点的小物块从轨道槽右口 \(B\) 上方 \(2x\) 处由静止释放，穿过轨道后从左口 \(A\) 冲出，最终到达 \(A\) 上方 \(x\) 的高度。若把释放点调整到 \(B\) 上方 \(x\) 处，则小物块从轨道左边冲出后能达到的最高位置在（ ）。
选项
- A. \(A\) 点上方
- B. \(A\) 点
- C. \(A\) 点下方
- D. 无法判断
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：往返运动与摩擦耗能
训练能力：全过程动能定理、路程位移区分
前置知识：摩擦功、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较两次入轨能量
两次分别从 \(B\) 上方 \(2x\) 和 \(x\) 处释放，进入 \(B\) 点时的动能相差 \(mgx\)。高处释放的物块在轨道上任一点速度都更大。
2. 判断能量差如何变化
粗糙圆弧上 \(f=\mu N\)，而法向力含有 \(mv^2/R\)。高能轨迹受到的摩擦力更大，所以两物块的动能差沿轨道逐渐缩小；但由同一位置、同一运动方向比较，两条动力学解不会相交，故高能轨迹到达 \(A\) 时仍具有更大的动能。
易错点
- 把两次通过圆槽的摩擦功简单看成相等
3. 确定低释放轨迹的出轨速度
高处释放时，物块从 \(A\) 冲出后还能上升 \(x\)，故其在 \(A\) 点动能为 \(mgx\)。两次入轨动能差也是 \(mgx\)，而经过粗糙轨道后该差值已经小于 \(mgx\)。因此低处释放的物块到达 \(A\) 时仍有正动能，冲出后最高点必在 \(A\) 上方。答案为 A。
初学者探索过程
从“往返运动与摩擦耗能”开始探索
先把“例6：粗糙半圆槽的能量比较”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例6：粗糙半圆槽的能量比较”后，判断为什么“把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“全过程动能定理、路程位移区分”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm ds}=mg\,\boldsymbol e_g\!\cdot\!\boldsymbol e_t-\mu N,\qquad N\ \text{随}\ v^2\ \text{增大}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“全过程动能定理”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“路程位移区分”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm ds}=mg\,\boldsymbol e_g\!\cdot\!\boldsymbol e_t-\mu N,\qquad N\ \text{随}\ v^2\ \text{增大}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“全过程动能定理、路程位移区分”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“往返运动与摩擦耗能”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例6：粗糙半圆槽的能量比较”训练的“全过程动能定理、路程位移区分”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm ds}=mg\,\boldsymbol e_g\!\cdot\!\boldsymbol e_t-\mu N,\qquad N\ \text{随}\ v^2\ \text{增大}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例6：粗糙半圆槽的能量比较”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm ds}=mg\,\boldsymbol e_g\!\cdot\!\boldsymbol e_t-\mu N,\qquad N\ \text{随}\ v^2\ \text{增大}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm ds}=mg\,\boldsymbol e_g\!\cdot\!\boldsymbol e_t-\mu N,\qquad N\ \text{随}\ v^2\ \text{增大}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：不同初能量通过粗糙曲线
**基础设问**
两个相同物块先后从同一粗糙固定圆弧的同一入口进入，初动能满足 \(E_{k1}>E_{k2}>0\)。若两者均能通过出口，比较出口动能并判断动能差相对入口是增大还是减小。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
出口仍有 \(E'_{k1}>E'_{k2}\)，但由于速度较大的物块法向力和滑动摩擦力更大，通常有 \(0<E'_{k1}-E'_{k2}<E_{k1}-E_{k2}\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
在同一弧长位置比较两物块：速度较大者损耗率更大，所以能量差被压缩；动力学解的有序性保证能量大小关系不会反转。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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