题目
从 \(A\) 点以 \(v_0=4\,\mathrm{m/s}\) 的水平速度抛出质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的小物块。物块到达 \(B\) 点时恰沿切线进入半径 \(R=2.75\,\mathrm m\) 的光滑圆弧轨道 \(BC\)，其中 \(C\) 端切线水平，\(\angle BOC=37^\circ\)。随后物块滑上质量 \(M=2\,\mathrm{kg}\) 的长木板。物块与板间动摩擦因数 \(\mu_1=0.5\)，板与地面间动摩擦因数 \(\mu_2=0.1\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，\(\sin37^\circ=0.6\)，\(\cos37^\circ=0.8\)。求：（1）物块到 \(B\) 点的速度；（2）到 \(C\) 点的速度；（3）若物块恰不滑出木板，从滑上木板到二者最终停止，物块与木板间摩擦力做功的代数和。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：轨道、临界与抛体综合
训练能力：多过程状态连接、轨道临界判断
前置知识：动能定理、圆周运动、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 利用切线方向求 B 点速度
在 \(B\) 点速度与半径垂直，速度方向与水平方向成 \(37^\circ\)。水平分速度保持 \(v_x=4\,\mathrm{m/s}\)，故 \(v_y=v_x\tan37^\circ=3\,\mathrm{m/s}\)，于是
\[
v_B=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m/s}.
\]
2. 由 B 到 C 使用机械能守恒
\(B\) 到 \(C\) 的下降高度为 \(R(1-\cos37^\circ)=0.55\,\mathrm m\)。因此
\[
v_C^2=v_B^2+2gR(1-\cos37^\circ)=25+11=36,
\]
得 \(v_C=6\,\mathrm{m/s}\)。
3. 分析相对滑动阶段
物块受摩擦力 \(5\,\mathrm N\)，加速度 \(-5\,\mathrm{m/s^2}\)；木板受物块摩擦 \(5\,\mathrm N\) 向右、地面摩擦 \(3\,\mathrm N\) 向左，加速度 \(1\,\mathrm{m/s^2}\)。二者经 \(1\,\mathrm s\) 达到共同速度 \(1\,\mathrm{m/s}\)。这段内物块位移 \(3.5\,\mathrm m\)，木板位移 \(0.5\,\mathrm m\)。
4. 求内摩擦功代数和
相对滑动阶段，物块与板间摩擦力做功之和为
\[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]
之后二者无相对滑动，静摩擦力对系统内两物体做功代数和为零。因此全过程答案为 \(-15\,\mathrm J\)。
易错点
- 认为一对作用力与反作用力做功总和必为零
初学者探索过程
从“轨道、临界与抛体综合”开始探索
先把“例8：平抛入圆弧后滑上长木板”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：平抛入圆弧后滑上长木板”后，判断为什么“只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多过程状态连接、轨道临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多过程状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“轨道临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多过程状态连接、轨道临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“轨道、临界与抛体综合”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“例8：平抛入圆弧后滑上长木板”训练的“多过程状态连接、轨道临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“例8：平抛入圆弧后滑上长木板”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_{f,\mathrm{内}}=-5\times3.5+5\times0.5=-15\,\mathrm J.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：滑块与木板的内摩擦功
**基础设问**
质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的滑块以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 滑上静止的质量 \(M=3\,\mathrm{kg}\) 的光滑地面长板，二者间动摩擦因数 \(\mu=0.2\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求达到共同速度前，滑块与板间摩擦力做功的代数和。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
共同速度 \(v=mv_0/(m+M)=1\,\mathrm{m/s}\)。内摩擦功之和等于系统动能变化：\(W_f=\frac12(m+M)v^2-\frac12mv_0^2=2-8=-6\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
对“滑块+木板”整体使用动能定理，一对内摩擦力功的代数和正好等于系统机械能损失。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料