题目
半径为 \(2\,\mathrm m\) 的四分之一竖直圆弧轨道 \(AB\) 与长度可调的水平轨道 \(BC\) 在 \(B\) 点平滑连接。质量 \(0.2\,\mathrm{kg}\) 的小球从 \(A\) 点由静止释放，经过 \(B\) 点时传感器测得轨道所受压力为 \(3.6\,\mathrm N\)。小球在 \(BC\) 段所受阻力为重力的 \(0.2\) 倍，从 \(C\) 点水平飞出，落到比 \(C\) 低 \(3.2\,\mathrm m\) 的地面。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）小球到 \(B\) 点的速度；（2）圆弧段摩擦力做的功；（3）使落点到 \(B\) 点的水平距离最大时，\(BC\) 的长度。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：轨道、临界与抛体综合
训练能力：多过程状态连接、轨道临界判断
前置知识：动能定理、圆周运动、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由 B 点压力求速度
在圆弧最低点 \(B\)，轨道支持力满足
\[
N-mg=m\frac{v_B^2}{R}.
\]
代入 \(N=3.6\,\mathrm N\)、\(m=0.2\,\mathrm{kg}\)、\(R=2\,\mathrm m\)，得 \(v_B=4\,\mathrm{m/s}\)。
2. 求圆弧段摩擦功
从 \(A\) 到 \(B\) 下降高度为 \(R=2\,\mathrm m\)。由动能定理
\[
mgR+W_f=\frac12mv_B^2,
\]
所以 \(W_f=1.6-4=-2.4\,\mathrm J\)。
3. 建立落点距离函数
水平段阻力为 \(0.2mg=0.4\,\mathrm N\)。设 \(BC=L\)，则
\[
v_C^2=v_B^2-\frac{2fL}{m}=16-4L.
\]
平抛时间 \(t=\sqrt{2h/g}=0.8\,\mathrm s\)，所以落点到 \(B\) 的水平距离
\[
X(L)=L+0.8\sqrt{16-4L}.
\]
4. 求函数最大值
令 \(X'(L)=0\)，得 \(\sqrt{16-4L}=1.6\)，因此
\[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]
这时小球仍以 \(1.6\,\mathrm{m/s}\) 从 \(C\) 点飞出。
易错点
- 认为水平轨道越长，落点一定越远
初学者探索过程
从“轨道、临界与抛体综合”开始探索
先把“例10：圆弧—水平轨道—平抛最远”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例10：圆弧—水平轨道—平抛最远”后，判断为什么“只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多过程状态连接、轨道临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多过程状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“轨道临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多过程状态连接、轨道临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“轨道、临界与抛体综合”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“例10：圆弧—水平轨道—平抛最远”训练的“多过程状态连接、轨道临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“例10：圆弧—水平轨道—平抛最远”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
L=\frac{16-1.6^2}{4}=3.36\,\mathrm m.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：粗糙平台后的平抛最远
**基础设问**
小球以 \(v_B=6\,\mathrm{m/s}\) 进入长度为 \(L\) 的粗糙水平轨道，减速度恒为 \(2\,\mathrm{m/s^2}\)，离开后从高 \(h=5\,\mathrm m\) 处平抛。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求使总水平距离最大的 \(L\)。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
平抛时间 \(t=1\,\mathrm s\)，离轨速度 \(v_C=\sqrt{36-4L}\)，总距离 \(X=L+\sqrt{36-4L}\)。令 \(X'=0\)，得 \(\sqrt{36-4L}=2\)，所以 \(L=8\,\mathrm m\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
轨道变长会增加平台位移，却会减小平抛速度；把两部分距离相加后求最大值。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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