题目
如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧。小球在斜面最低点 \(A\) 的速度为 \(v\)，向上运动并将弹簧压缩；到 \(C\) 点时弹簧最短，且 \(C\) 点距地面高度为 \(h\)。不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则弹簧从开始接触到被压缩至最短的过程中，弹簧对小球做的功为（ ）。
选项
- A. \(mgh-\frac12mv^2\)
- B. \(\frac12mv^2-mgh\)
- C. \(mgh+\frac12mv^2\)
- D. \(mgh\)
学习定位
弹簧与机械能
题族：弹簧功与动能变化
训练能力：弹簧状态划分、变力功处理
前置知识：弹性势能、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定初末动能
在 \(A\) 点，小球动能为 \(E_{kA}=\frac12mv^2\)。到 \(C\) 点弹簧最短，小球瞬时静止，故 \(E_{kC}=0\)。
2. 写出各力做功
斜面光滑，支持力不做功。小球上升 \(h\)，重力做功 \(W_G=-mgh\)。设弹簧对小球做功为 \(W_s\)。
易错点
- 把重力功写成正值
3. 应用动能定理
\[
W_s-mgh=0-\frac12mv^2,
\]
所以
\[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]
答案为 A。正常压缩过程中该值为负，表示弹簧阻碍小球运动。
初学者探索过程
从“弹簧功与动能变化”开始探索
先把“例2：斜面上压缩弹簧”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例2：斜面上压缩弹簧”后，判断为什么“把重力功写成正值”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“弹簧状态划分、变力功处理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把重力功写成正值。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“弹簧状态划分”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“变力功处理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“弹簧状态划分、变力功处理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“弹簧功与动能变化”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“例2：斜面上压缩弹簧”训练的“弹簧状态划分、变力功处理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“例2：斜面上压缩弹簧”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_s=mgh-\frac12mv^2.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：竖直压缩弹簧
**基础设问**
质量为 \(m\) 的小球以速度 \(v_0\) 竖直向上运动，接触弹簧后继续上升 \(h\) 并瞬时静止。忽略空气阻力，求弹簧对小球做的功。
**综合提升**
在原弹簧模型中加入恒定摩擦力 \(f\)，物体从弹簧原长处以速度 \(v_0\) 开始压缩弹簧。（1）建立最大压缩量 \(x_m\) 的方程；（2）给出有正根的条件；（3）若物体随后被弹回，求能否回到原长位置的判据；（4）讨论 \(f\) 增大时两个临界怎样变化。
变式答案
**1. 基础设问**
\(W_s=mgh-\frac12mv_0^2\)。
**2. 综合提升**
最大压缩时速度为零：
\[\frac12mv_0^2=fx_m+\frac12kx_m^2.\]
正根为 \(x_m=(-f+\sqrt{f^2+kmv_0^2})/k\)。回弹到原长时可用的弹性势能还要克服同程摩擦，要求 \(kx_m^2/2>fx_m\)，即 \(kx_m>2f\)。摩擦越大，压缩量减小，回到原长的条件更难满足。
思路提示
**基础思路**
把接触弹簧到最大压缩作为全过程，重力和弹簧力共同改变小球动能。
**进阶思路**
压缩和回弹是两个摩擦方向相反、能量损失累加的过程，不能只把第一次的方程倒着使用。