题目
（多选）额定功率为 \(1200\,\mathrm W\)、最大拉力为 \(300\,\mathrm N\) 的提升装置，把静置于地面的质量 \(20\,\mathrm{kg}\) 的重物竖直提升到高 \(85.2\,\mathrm m\) 的平台。重物先加速再匀速，最后做加速度大小不超过 \(5\,\mathrm{m/s^2}\) 的匀减速运动，到达平台时速度恰为零。若提升时间最短，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 整个过程中最大加速度为 \(15\,\mathrm{m/s^2}\)
- B. 匀减速运动的位移大小为 \(3.6\,\mathrm m\)
- C. 从静止开始匀加速的时间为 \(1.2\,\mathrm s\)
- D. 提升重物的最短时间为 \(15.5\,\mathrm s\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：机车恒功率与分段启动
训练能力：牵引力速度关系、分阶段运动建模
前置知识：功率公式、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定最大加速度与切换速度
低速阶段应使用最大拉力。最大加速度
\[
a_1=\frac{T_{\max}-mg}{m}=\frac{300-200}{20}=5\,\mathrm{m/s^2}.
\]
当 \(T_{\max}v=P\) 时进入额定功率阶段，故切换速度 \(v_1=1200/300=4\,\mathrm{m/s}\)，匀加速时间 \(t_1=4/5=0.8\,\mathrm s\)。A、C 错。
2. 确定最大匀速速度与减速段
匀速提升时拉力等于重力，所以最大匀速速度
\[
v_m=\frac{P}{mg}= rac{1200}{200}=6\,\mathrm{m/s}.
\]
末段以最大允许减速度 \(5\,\mathrm{m/s^2}\) 制动，故 \(t_3=6/5=1.2\,\mathrm s\)，\(s_3=v_m^2/(2a_3)=3.6\,\mathrm m\)。B 正确。
3. 用功率计算中间阶段时间
初段位移 \(s_1=\frac12a_1t_1^2=1.6\,\mathrm m\)，拉力做功 \(W_1=300\times1.6=480\,\mathrm J\)。末段拉力 \(T_3=mg-ma_3=100\,\mathrm N\)，做功 \(W_3=100\times3.6=360\,\mathrm J\)。全过程拉力做功等于重力势能增加 \(mgh=17040\,\mathrm J\)，所以额定功率阶段做功 \(16200\,\mathrm J\)，用时
\[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]
总时间 \(t=0.8+13.5+1.2=15.5\,\mathrm s\)，D 正确。
易错点
- 只用平台高度除以最大速度，忽略加减速功率约束
初学者探索过程
从“机车恒功率与分段启动”开始探索
先把“B组第6题：提升装置最短时间”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第6题：提升装置最短时间”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“牵引力速度关系”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分阶段运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“牵引力速度关系、分阶段运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“机车恒功率与分段启动”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“B组第6题：提升装置最短时间”训练的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“B组第6题：提升装置最短时间”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
t_2=16200/1200=13.5\,\mathrm s.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：受拉力与功率双限制的提升
**基础设问**
质量为 \(10\,\mathrm{kg}\) 的重物由额定功率 \(600\,\mathrm W\)、最大拉力 \(150\,\mathrm N\) 的装置提升。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求最大加速度、切换到额定功率时的速度和最大匀速速度。
**综合提升**
把原动力装置改为同时受最大牵引力 \(F_m\) 和额定功率 \(P_m\) 限制。（1）求恒力阶段切换到恒功率阶段的速度；（2）写出两阶段的加速度；（3）建立到达给定速度的最短时间表达式；（4）说明最优策略为何总是贴着约束上限运行。
变式答案
**1. 基础设问**
\(a_{\max}=(150-100)/10=5\,\mathrm{m/s^2}\)，\(v_1=P/T_{\max}=4\,\mathrm{m/s}\)，\(v_m=P/(mg)=6\,\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
切换速度
\[v_c=\frac{P_m}{F_m}.\]
若阻力为 \(f\)，恒力阶段 \(a_1=(F_m-f)/m\)，恒功率阶段 \(a_2(v)=(P_m/v-f)/m\)。最短时间由
\[t=\frac{v_c-v_0}{a_1}+\int_{v_c}^{v_f}\frac{m\,dv}{P_m/v-f}\]
给出。任一时刻未用满允许牵引力或功率都会减小加速度，无法缩短时间。
思路提示
**基础思路**
低速阶段由最大拉力限制；速度增大后转为额定功率限制；最终匀速时拉力等于重力。
**进阶思路**
先找两种约束的交点，再分段积分；这是把单一动能方程提升为带约束的最优控制。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料