题目
一根不可伸长的轻绳一端固定于 \(O\) 点，另一端拴有质量为 \(m\) 的小球。初始时绳拉紧，且与水平方向成 \(30^\circ\)，小球由静止释放。当小球运动到悬点正下方 \(C\) 位置时，细绳承受的拉力为（ ）。
选项
- A. \(4mg\)
- B. \(3.5mg\)
- C. \(3mg\)
- D. \(1.75mg\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 判断绳先松弛
初始小球位于悬点上方。若保持圆周运动，绳需对小球产生沿半径向外的推力，但轻绳只能拉不能推，所以释放后绳立即松弛，小球先做自由落体。小球横坐标保持 \(L\cos30^\circ\)，当它从悬点上方 \(L/2\) 落到下方 \(L/2\) 时，距 \(O\) 再次等于 \(L\)，绳重新绷紧。
易错点
- 从 A 点起直接按圆周运动机械能守恒
2. 处理绳绷紧瞬间的速度突变
自由落体高度为 \(L\)，绷紧前速度满足 \(v_-^2=2gL\)。绳绷紧的冲量消去沿绳方向的速度，只保留切向分量。切线与竖直方向夹角为 \(30^\circ\)，所以
\[
v_+=v_-\cos30^\circ,\qquad v_+^2=\frac32gL.
\]
3. 求最低点速度和拉力
绳绷紧点比最低点高 \(L/2\)。之后沿圆弧运动机械能守恒：
\[
v_C^2=v_+^2+2g\frac L2=\frac52gL.
\]
最低点沿半径方向有
\[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]
故 \(T=3.5mg\)，答案为 B。
易错点
- 把向心力当成一个额外的力
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“B组第8题：摆球最低点的拉力”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第8题：摆球最低点的拉力”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“B组第8题：摆球最低点的拉力”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“B组第8题：摆球最低点的拉力”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
T-mg=m\frac{v_C^2}{L}=\frac52mg,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：从水平位置释放摆球
**基础设问**
质量为 \(m\) 的摆球从绳水平的位置由静止释放，摆长为 \(L\)。求摆到最低点时绳的拉力。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
下降高度为 \(L\)，故 \(v^2=2gL\)。最低点 \(T-mg=mv^2/L=2mg\)，所以 \(T=3mg\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
先由高度差求速度，再在最低点沿半径方向列牛顿第二定律。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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