题目
（多选）从地面以初速度 \(v_0\) 竖直向上抛出质量为 \(m\) 的小球。空气阻力大小与速率成正比，比例系数为 \(k\)。小球在 \(t_1\) 时刻到达最高点，再落回地面；落地前已达到向下的终端速率 \(v_1\)。取重力加速度为 \(g\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 小球上升时间大于下落时间
- B. 上升过程中速率为 \(\frac12v_0\) 时，加速度大小为 \(g+\frac{kv_0}{2m}\)
- C. 最大高度为 \(H=\frac{(v_0-gt_1)k}{m}\)
- D. 从抛出到落地，克服空气阻力做功为 \(\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：阻力作用与能量图像
训练能力：能量图像斜率分析、耗散功反演
前置知识：机械能变化、阻力做功
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参考答案
分步解析
1. 判断加速度和运动时间
上升时阻力与重力同向，加速度大小大于 \(g\)；下降时阻力向上，加速度从 \(g\) 逐渐减小到零，因此同一高度范围内下落更慢，上升时间不大于下落时间，A 错。上升速率为 \(v_0/2\) 时，\(ma=mg+k(v_0/2)\)，故 B 正确。
2. 由冲量关系求最大高度公式
上升全过程满足
\[
m(0-v_0)=-mgt_1-k\int_0^{t_1}v\,\mathrm dt=-mgt_1-kH.
\]
所以
\[
H=\frac{m(v_0-gt_1)}{k},
\]
原选项把 \(m/k\) 写成了 \(k/m\)，C 错。
3. 求克服空气阻力的功
小球初、末位置都在地面，重力势能变化为零。空气阻力对小球做功
\[
W_f=\frac12mv_1^2-\frac12mv_0^2.
\]
因此克服空气阻力做功为其相反数
\[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]
D 正确。答案为 B、D。
初学者探索过程
从“阻力作用与能量图像”开始探索
先把“B组第9题：线性空气阻力下的竖直上抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第9题：线性空气阻力下的竖直上抛”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“能量图像斜率分析、耗散功反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“能量图像斜率分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“耗散功反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“能量图像斜率分析、耗散功反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“阻力作用与能量图像”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“B组第9题：线性空气阻力下的竖直上抛”训练的“能量图像斜率分析、耗散功反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“B组第9题：线性空气阻力下的竖直上抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_{\mathrm{克服}}=\frac12mv_0^2-\frac12mv_1^2,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由终端速度求阻力系数
**基础设问**
质量 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的小球在空气中竖直下落，阻力满足 \(f=kv\)，终端速度为 \(10\,\mathrm{m/s}\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求 \(k\)，并求小球向下速率为 \(4\,\mathrm{m/s}\) 时的加速度。
**综合提升**
把原题中的恒合力推广为 \(F(x)=F_0-kx\)。（1）写出 \(E_k-x\) 关系；（2）求动能最大位置；（3）由给定末速度反求参数 \(k\)；（4）讨论当方程没有非负速度解时对应的实际停止位置。
变式答案
**1. 基础设问**
终端状态 \(mg=kv_t\)，故 \(k=0.5\,\mathrm{N\,s/m}\)。速率为 \(4\,\mathrm{m/s}\) 时 \(a=(mg-kv)/m=(5-2)/0.5=6\,\mathrm{m/s^2}\)，方向向下。
**2. 综合提升**
由动能定理
\[E_k(x)=E_{k0}+F_0x-\frac12kx^2.\]
其导数就是合力，故动能最大处 \(F_0-kx=0\)，即 \(x=F_0/k\)。给定末状态可把 \(E_k(x_f)\) 方程反解 \(k\)。若计算得到 \(E_k<0\)，说明物体已在此前满足 \(E_k=0\) 的第一正根处停止，原运动分段假设失效。
思路提示
**基础思路**
先利用终端速度时合力为零确定 \(k\)，再代回瞬时牛顿第二定律。
**进阶思路**
先把功写成位移函数，再把动能非负作为可达性条件；这比只求一个末速度多了极值与模型终止判断。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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