题目
质量为 \(m\) 的物体从斜面上的 \(A\) 处由静止滑下，经斜面底端进入水平面时速度大小不变，最后停在水平面上的 \(B\) 处。\(A、B\) 两点间的水平距离为 \(s\)，\(A\) 点高度为 \(h\)。物体与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，斜面倾角为 \(\theta\)。求动摩擦因数 \(\mu\)；若要物体沿原路再回到 \(A\) 点，外力至少做多少功？
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：往返运动与摩擦耗能
训练能力：全过程动能定理、路程位移区分
前置知识：摩擦功、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 统一写出摩擦功
斜面段长度为 \(h/\sin\theta\)，其水平投影为 \(h\cot\theta\)。斜面段摩擦功大小为 \(\mu mg\cos\theta\cdot h/\sin\theta=\mu mgh\cot\theta\)。水平段长度为 \(s-h\cot\theta\)，摩擦功大小为 \(\mu mg(s-h\cot\theta)\)。两段相加恰为 \(\mu mgs\)。
易错点
- 把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度
2. 求动摩擦因数
物体从 \(A\) 由静止出发，到 \(B\) 又静止。对全过程列动能定理：
\[
mgh-\mu mgs=0,
\]
故 \(\mu=\dfrac{h}{s}\)。这里的 \(s\) 是原题给出的 \(A、B\) 两点间水平距离。
易错点
- 混淆 AB 水平距离与水平面段长度
3. 求返回 A 的最小外力功
返回时物体的重力势能增加 \(mgh\)，沿原路克服摩擦还要消耗与去程相同的能量 \(mgh\)。若始末速度均为零，外力至少做功
\[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]
初学者探索过程
从“往返运动与摩擦耗能”开始探索
先把“例3：斜面与水平面的往返功”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例3：斜面与水平面的往返功”后，判断为什么“把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“全过程动能定理、路程位移区分”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把题给的水平距离 \(s\) 误当作水平面段长度。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“全过程动能定理”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“路程位移区分”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“全过程动能定理、路程位移区分”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“往返运动与摩擦耗能”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例3：斜面与水平面的往返功”训练的“全过程动能定理、路程位移区分”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例3：斜面与水平面的往返功”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_{\min}=mgh+mgh=2mgh.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：粗糙轨道原路返回
**基础设问**
质量为 \(1\,\mathrm{kg}\) 的物体从高 \(3\,\mathrm m\) 处由静止沿粗糙轨道滑下，恰好停在底端。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。若以最省功的方式沿原路把它缓慢送回起点，外力至少做多少功？
**综合提升**
在原粗糙运动模型中，把摩擦因数设为分段值：前半程为 \(\mu_1\)，后半程为 \(\mu_2\)。（1）用全过程动能定理求末速度；（2）反求恰好到达终点时 \(\mu_1,\mu_2\) 的关系；（3）若原路返回，写出往返总摩擦功；（4）说明为什么只看位移不能求摩擦功。
变式答案
**1. 基础设问**
去程摩擦耗能为 \(mgh=30\,\mathrm J\)。回程既增加势能 \(30\,\mathrm J\)，又克服摩擦 \(30\,\mathrm J\)，故 \(W_{\min}=60\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
若两段路程分别为 \(s_1,s_2\)，法向力为 \(N_1,N_2\)，则
\[\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2=W_{其他}-\mu_1N_1s_1-\mu_2N_2s_2.\]
恰好到达时令 \(v_2=0\) 即得参数关系。原路返回时摩擦仍做负功，往返总摩擦功按总路程相加而不是按净位移抵消。
思路提示
**基础思路**
先由去程“始末都静止”确定摩擦耗能，再把回程的势能增加和摩擦耗能相加。
**进阶思路**
把路径按受力规律分段，每段独立算功后再一次性连接初末动能；摩擦功依赖路程。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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