题目
固定光滑斜面倾角 \(37^\circ\)，下端有挡板。质量均为 \(m\) 的物块 \(A、B\) 用沿斜面的轻弹簧连接，\(A\) 靠在挡板上。轻绳跨过定滑轮，左端连 \(B\)，右端连地面上的小车；初态右侧绳竖直、长度为 \(L\)，绳中无弹力。小车缓慢向右移动 \(\frac34L\) 时，\(A\) 恰好不离开挡板。取 \(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)。在小车从图示位置移动 \(\frac34L\) 的过程中，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 弹簧劲度系数为 \(\frac{12mg}{5L}\)
- B. 缓慢移动时，绳的拉力对物块 \(B\) 做功为 \(mgL\)
- C. 若小车以 \(2\sqrt{gL}\) 匀速向右运动，末态物块 \(B\) 的速率为 \(\frac85\sqrt{gL}\)
- D. 若小车以 \(2\sqrt{gL}\) 匀速向右运动，绳的拉力对 \(B\) 做功为 \(\frac{87}{100}mgL\)
学习定位
弹簧与机械能
题族：弹簧功与动能变化
训练能力：弹簧状态划分、变力功处理
前置知识：弹性势能、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由绳长约束求 B 的位移
小车横移 \(3L/4\) 后，右侧绳段由 \(L\) 变为
\[
\sqrt{L^2+(3L/4)^2}=\frac54L.
\]
右段增长 \(L/4\)，故左段缩短 \(L/4\)，物块 \(B\) 沿斜面上移 \(L/4\)。
易错点
- 把小车水平位移直接当成 B 的位移
2. 判断弹簧劲度系数
初态绳张力为零，弹簧受压并以 \(mg\sin37^\circ=3mg/5\) 支撑 \(B\)。末态 \(A\) 恰离开挡板，弹簧受拉且拉力也为 \(3mg/5\)。初、末形变量大小相等，总变化为 \(L/4\)，故每个形变量为 \(L/8\)：
\[
k=\frac{3mg/5}{L/8}=\frac{24mg}{5L}.
\]
A 错。
易错点
- 忽略初态弹簧已经被压缩
3. 求末态速度
设小车水平位移为 \(x\)，右绳长 \(r=\sqrt{L^2+x^2}\)。绳长约束给出
\[
v_B=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac{x}{r}v_{\mathrm车}.
\]
末态 \(x=3L/4\)、\(r=5L/4\)，所以 \(v_B=\frac35\cdot2\sqrt{gL}=\frac65\sqrt{gL}\)，C 错。
4. 用动能定理求张力功
物块 \(B\) 的末动能为 \(\frac12m(\frac65\sqrt{gL})^2=\frac{18}{25}mgL\)。弹簧由压缩 \(L/8\) 变为伸长 \(L/8\)，弹簧势能不变，故弹簧对 \(B\) 的总功为零；重力做功 \(-mg\sin37^\circ\cdot L/4=-\frac3{20}mgL\)。因此
\[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]
D 正确。
初学者探索过程
从“弹簧功与动能变化”开始探索
先把“B组第7题：小车—轻绳—弹簧联动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第7题：小车—轻绳—弹簧联动”后，判断为什么“把重力功写成正值”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“弹簧状态划分、变力功处理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把重力功写成正值。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“弹簧状态划分”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“变力功处理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“弹簧状态划分、变力功处理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“弹簧功与动能变化”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“B组第7题：小车—轻绳—弹簧联动”训练的“弹簧状态划分、变力功处理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“B组第7题：小车—轻绳—弹簧联动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_T=\Delta E_k-W_G-W_s=\frac{18}{25}mgL+\frac3{20}mgL=\frac{87}{100}mgL.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：直角绳段的关联速度
**基础设问**
一根轻绳跨过定滑轮，一端连沿斜面运动的物块，另一端连水平小车。滑轮到小车轨道的竖直距离为 \(H\)。当小车距滑轮正下方水平距离为 \(x\)、速度为 \(v\) 时，求物块沿绳方向的速度。
**综合提升**
在原弹簧模型中加入恒定摩擦力 \(f\)，物体从弹簧原长处以速度 \(v_0\) 开始压缩弹簧。（1）建立最大压缩量 \(x_m\) 的方程；（2）给出有正根的条件；（3）若物体随后被弹回，求能否回到原长位置的判据；（4）讨论 \(f\) 增大时两个临界怎样变化。
变式答案
**1. 基础设问**
右侧绳长 \(r=\sqrt{H^2+x^2}\)，故 \(v_{\mathrm物}}=\dot r=\dfrac{x}{\sqrt{H^2+x^2}}v\)。方向由绳总长不变确定。
**2. 综合提升**
最大压缩时速度为零：
\[\frac12mv_0^2=fx_m+\frac12kx_m^2.\]
正根为 \(x_m=(-f+\sqrt{f^2+kmv_0^2})/k\)。回弹到原长时可用的弹性势能还要克服同程摩擦，要求 \(kx_m^2/2>fx_m\)，即 \(kx_m>2f\)。摩擦越大，压缩量减小，回到原长的条件更难满足。
思路提示
**基础思路**
先写可变绳段的几何长度，再对时间求导；关联速度不是简单相等。
**进阶思路**
压缩和回弹是两个摩擦方向相反、能量损失累加的过程，不能只把第一次的方程倒着使用。