题目
抛石机长臂 \(OA\) 长 \(L=4\,\mathrm m\)，\(B\) 为 \(OA\) 中点，石块可装在长臂的 \(AB\) 区域。初态长臂与水平面的夹角 \(\alpha=30^\circ\)，\(A\) 点位于地面；当长臂转到竖直位置时立即停止，石块被水平抛出。某次将质量 \(m=10\,\mathrm{kg}\) 的石块装在 \(A\) 点，恰击中地面上距 \(O\) 点水平距离 \(x=12\,\mathrm m\) 的目标。不计空气阻力和抛石机臂的质量，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）抛出瞬间石块所需向心力；（2）全过程抛石机对石块做的功；（3）若抛石机对石块做功恒定，应把石块装在距 \(O\) 点多远处，才能使落点水平距离最大？
学习定位
抛体运动与功率
题族：圆周运动断约束后的抛体
训练能力：约束切换判断、多阶段最值求解
前置知识：圆周运动、平抛运动
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参考答案
分步解析
1. 确定支点和释放点高度
初态 \(A\) 点在地面，故支点 \(O\) 高度为
\[
h_O=L\sin30^\circ=2\,\mathrm m.
\]
长臂竖直且石块在 \(A\) 点释放时，石块离地高度 \(H=h_O+L=6\,\mathrm m\)。
易错点
- 把支点 O 误当成在地面上，漏掉其初态高度
2. 由平抛射程求释放速度和向心力
平抛时间
\[
t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{1.2}\,\mathrm s.
\]
由 \(x=vt=12\,\mathrm m\) 得 \(v^2=120\,\mathrm{m^2/s^2}\)。因此抛出瞬间所需向心力
\[
F_c=m\frac{v^2}{L}=10\times\frac{120}{4}=300\,\mathrm N.
\]
3. 求抛石机做功
石块从地面由静止开始，到释放时动能为 \(\frac12mv^2=600\,\mathrm J\)，重力势能增加 \(mgH=600\,\mathrm J\)。故
\[
W_{\mathrm{机}}=\Delta E_k+\Delta E_p=1200\,\mathrm J.
\]
4. 求最佳安装位置
设安装半径为 \(r\in[2,4]\)。初态石块高度为 \(2-r\sin30^\circ\)，释放高度为 \(2+r\)，故上升高度为 \(\frac32r\)。抛石机做功保持 \(1200\,\mathrm J\)，有
\[
v^2=\frac{2W}{m}-3gr=240-30r.
\]
射程平方
\[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]
该二次函数在 \(r=3\,\mathrm m\) 处取最大值，因此应装在距 \(O\) 点 \(3\,\mathrm m\) 处。
易错点
- 只认为半径越大线速度越大，忽略提升石块消耗的功
初学者探索过程
从“圆周运动断约束后的抛体”开始探索
先把“B组第10题：可调抛石机”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第10题：可调抛石机”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“约束切换判断、多阶段最值求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“约束切换判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“多阶段最值求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“约束切换判断、多阶段最值求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“圆周运动断约束后的抛体”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“B组第10题：可调抛石机”训练的“约束切换判断、多阶段最值求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“B组第10题：可调抛石机”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
X^2=v^2\frac{2(2+r)}{g}=96+36r-6r^2.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：固定做功下的最佳抛射半径
**基础设问**
某装置对质量 \(m\) 的小球做固定功 \(W\)。小球安装在转臂上距支点 \(r\) 处，转到竖直位置后水平抛出；支点离地高度为 \(h_0\)，小球从初态到释放上升 \(ar\)。写出射程平方 \(X^2(r)\) 的表达式。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \(W=\frac12mv^2+mgar\)，得 \(v^2=\frac{2W}{m}-2gar\)。释放高度为 \(h_0+r\)，所以 \(X^2=v^2\frac{2(h_0+r)}{g}=\left(\frac{2W}{m}-2gar\right)\frac{2(h_0+r)}{g}\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
先用固定做功约束求速度随安装半径的变化，再与平抛时间共同组成射程函数。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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