题目
倾角为 \(37^\circ\) 的粗糙斜面 \(AB\) 与半径 \(R=0.4\,\mathrm m\) 的光滑半圆轨道 \(BC\) 在 \(B\) 点平滑相连，\(BC\) 为竖直直径，\(A、C\) 两点等高。质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的滑块从 \(A\) 点由静止下滑，恰能滑到与圆心 \(O\) 等高的 \(D\) 点。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）滑块与斜面间的动摩擦因数；（2）要使滑块能到达 \(C\) 点，从 \(A\) 点下滑时初速度的最小值；（3）若滑块离开 \(C\) 点的速度为 \(10\,\mathrm{m/s}\)，求落到斜面前的飞行时间。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：轨道、临界与抛体综合
训练能力：多过程状态连接、轨道临界判断
前置知识：动能定理、圆周运动、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由 A 到 D 求摩擦因数
\(A\) 点比 \(D\) 点高 \(R\)，且滑块在两点均静止。斜面长度 \(AB=2R/\sin37^\circ\)。由动能定理，
\[
mgR-\mu mg\cos37^\circ\frac{2R}{\sin37^\circ}=0,
\]
代入 \(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)，得 \(\mu=3/8\)。
2. 求到达 C 点的最小初速度
滑块恰好不断开轨道到达最高点 \(C\) 时，满足 \(v_C^2=gR\)。从 \(A\) 到 \(C\) 高度不变，而斜面摩擦耗能由第（1）问知为 \(mgR\)，所以
\[
\frac12mv_0^2=mgR+\frac12mgR.
\]
因此 \(v_{0\min}=\sqrt{3gR}=2\sqrt3\,\mathrm{m/s}\)。
易错点
- 只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件
3. 求从 C 到斜面的时间
以 \(B\) 为原点、水平向右为 \(x\) 正方向。小球从 \(C\) 向左平抛：\(x=-10t\)，\(y=2R-\frac12gt^2\)。斜面方程为 \(y=-x\tan37^\circ\)。代入 \(R=0.4\,\mathrm m\) 得
\[
0.8-5t^2=7.5t,
\]
取正根 \(t=0.10\,\mathrm s\)。
初学者探索过程
从“轨道、临界与抛体综合”开始探索
先把“例5：粗糙斜面与光滑半圆轨道”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例5：粗糙斜面与光滑半圆轨道”后，判断为什么“只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多过程状态连接、轨道临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
0.8-5t^2=7.5t,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多过程状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“轨道临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
0.8-5t^2=7.5t,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多过程状态连接、轨道临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“轨道、临界与抛体综合”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“例5：粗糙斜面与光滑半圆轨道”训练的“多过程状态连接、轨道临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
0.8-5t^2=7.5t,
\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“例5：粗糙斜面与光滑半圆轨道”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[
0.8-5t^2=7.5t,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
0.8-5t^2=7.5t,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：半圆轨道最高点临界速度
**基础设问**
质量为 \(m\) 的小球从与竖直光滑圆轨道最低点相连的斜面滑入轨道。圆轨道半径为 \(R=0.9\,\mathrm m\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。若小球恰能不断轨到达最高点，求其在最低点的最小速度。
**综合提升**
把原轨道末端接成半径为 \(R\) 的竖直光滑圆轨道，并让物体在进入前经过一段粗糙路面。（1）由最高点不脱离条件求入口最小速度；（2）用动能定理反求粗糙段允许的最大长度；（3）求临界状态最低点支持力；（4）若末端改为轻杆约束，说明临界条件怎样改变。
变式答案
**1. 基础设问**
最高点 \(v_C^2=gR\)。由最低点到最高点机械能守恒，\(\frac12mv_B^2=2mgR+\frac12mgR\)，故 \(v_{B\min}=\sqrt{5gR}=3\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
内轨最高点临界为 \(v_t^2=gR\)，能量给入口最低速度 \(v_b^2=v_t^2+4gR=5gR\)。若粗糙段前速度为 \(v_0\)、摩擦力为 \(f\)，则
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_0^2-fL,\]
由此求 \(L_{\max}\)。最低点 \(N-mg=mv_b^2/R\)，临界时 \(N=6mg\)。轻杆可推可拉，最高点约束力不必非负，临界需按具体连接条件重建。
思路提示
**基础思路**
先在最高点列向心力临界条件，再用机械能守恒把最高点速度换算到最低点。
**进阶思路**
把局部圆周临界转换成入口速度，再用粗糙段的功反推参数；不同约束能否推拉会改变临界。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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