题目
水平传送带 \(AB\) 以恒定速率 \(v_1\) 向右运动，右端与光滑平台等高。质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\) 的滑块以速率 \(v_2\) 向左从 \(A\) 点滑上传送带。其动能随路程变化的 \(E_k-x\) 图像依次经过 \((0,16\,\mathrm J)\)、\((4\,\mathrm m,0)\)、\((5\,\mathrm m,4\,\mathrm J)\)，并从 \(x=5\,\mathrm m\) 到 \(8\,\mathrm m\) 保持 \(4\,\mathrm J\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 传送带运行速率为 \(v_1=1\,\mathrm{m/s}\)
- B. 滑块在传送带上的运动时间为 \(2.5\,\mathrm s\)
- C. 若传送带速率增大，滑块在传送带上的运动时间一定越来越小
- D. 滑块从滑上传送带到再次滑回平台的过程中，因摩擦产生的热量为 \(36\,\mathrm J\)
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量与往返过程
训练能力：分阶段相对运动、电功热量动能分配
前置知识：相对位移、功能关系
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由图像读速度和摩擦力
\(E_{k0}=16\,\mathrm J\)，故 \(v_2=\sqrt{2E_k/m}=4\,\mathrm{m/s}\)。图线斜率大小为 \(16/4=4\,\mathrm N\)，即滑动摩擦力 \(f=4\,\mathrm N\)，加速度大小 \(a=f/m=2\,\mathrm{m/s^2}\)。
2. 确定传送带速度和运动时间
折线进入水平段时滑块与传送带同速，\(\frac12mv_1^2=4\,\mathrm J\)，得 \(v_1=2\,\mathrm{m/s}\)，A 错。滑块向左减速用时 \(2\,\mathrm s\)，再向右加速到 \(2\,\mathrm{m/s}\) 用时 \(1\,\mathrm s\)，之后还需向右匀速 \(3\,\mathrm m\)，用时 \(1.5\,\mathrm s\)。总时间 \(4.5\,\mathrm s\)，B 错。
3. 判断速率变化与摩擦生热
当传送带足够快时，滑块会在尚未追上传送带速度前回到平台，运动时间不再随带速增大而减小，故 C 错。前 \(2\,\mathrm s\) 相对路程为 \(8\,\mathrm m\)，随后加速阶段相对路程为 \(1\,\mathrm m\)，所以
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]
答案为 D。
易错点
- 用滑块对地位移代替相对路程
初学者探索过程
从“传送带能量与往返过程”开始探索
先把“例9：水平传送带上的往返运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例9：水平传送带上的往返运动”后，判断为什么“用滑块对地位移代替相对路程”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用滑块对地位移代替相对路程。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“电功热量动能分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段相对运动、电功热量动能分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“传送带能量与往返过程”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“例9：水平传送带上的往返运动”训练的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“例9：水平传送带上的往返运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
Q=f\Delta s_{\mathrm{相}}=4\times9=36\,\mathrm J.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：传送带上先减速再反向
**基础设问**
质量为 \(1\,\mathrm{kg}\) 的滑块以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 向左滑上向右以 \(1\,\mathrm{m/s}\) 运动的传送带，滑动摩擦力为 \(2\,\mathrm N\)。求滑块从上带到与传送带同速的时间和此过程产生的热量。
**综合提升**
在原粗糙运动模型中，把摩擦因数设为分段值：前半程为 \(\mu_1\)，后半程为 \(\mu_2\)。（1）用全过程动能定理求末速度；（2）反求恰好到达终点时 \(\mu_1,\mu_2\) 的关系；（3）若原路返回，写出往返总摩擦功；（4）说明为什么只看位移不能求摩擦功。
变式答案
**1. 基础设问**
加速度大小 \(2\,\mathrm{m/s^2}\)，速度从 \(-3\) 变到 \(+1\)，故 \(t=2\,\mathrm s\)。相对初速度为 \(-4\,\mathrm{m/s}\)，末相对速度为零，相对路程 \(4\,\mathrm m\)，所以 \(Q=2\times4=8\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
若两段路程分别为 \(s_1,s_2\)，法向力为 \(N_1,N_2\)，则
\[\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2=W_{其他}-\mu_1N_1s_1-\mu_2N_2s_2.\]
恰好到达时令 \(v_2=0\) 即得参数关系。原路返回时摩擦仍做负功，往返总摩擦功按总路程相加而不是按净位移抵消。
思路提示
**基础思路**
统一规定向右为正，先用速度变化求时间，再用相对运动求摩擦生热。
**进阶思路**
把路径按受力规律分段，每段独立算功后再一次性连接初末动能；摩擦功依赖路程。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“传送带功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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