题目
（多选）甲为水平平台，乙为与甲同高的水平传送带，传送带以速度 \(v\) 向上匀速运行。质量为 \(m\) 的货物从平台上以垂直于传送带运动方向的速度 \(v\) 冲上传送带。货物与传送带间的动摩擦因数为 \(\mu\)，达到相对静止前未脱离传送带。取重力加速度为 \(g\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 货物相对地面做曲线运动
- B. 货物在传送带上留下的划痕为曲线
- C. 摩擦力对货物做功为 \(mv^2\)
- D. 货物在传送带上留下的划痕长度为 \(\frac{v^2}{\mu g}\)
学习定位
传送带功能关系
题族：垂直传送带与相对运动
训练能力：二维相对运动、摩擦功与热量分配
前置知识：动能定理、相对位移
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立地面参考系运动方程
取货物初速度方向为 \(x\) 轴、传送带方向为 \(y\) 轴。滑动摩擦力沿 \(+y\) 方向，故
\[
x=vt,\qquad y=\frac12\mu gt^2.
\]
消去 \(t\) 得 \(y=\dfrac{\mu g}{2v^2}x^2\)，货物对地轨迹是抛物线，A 正确。
2. 写出相对传送带轨迹
传送带上材料点满足 \(y_{\mathrm{带}}=vt\)，所以货物相对传送带的坐标为
\[
x'=vt,\qquad y'=\frac12\mu gt^2-vt.
\]
消去 \(t\) 后仍是二次曲线，因此划痕为曲线，B 正确。
3. 判断摩擦功和划痕长度
相对静止时速度由 \((v,0)\) 变为 \((v,v)\)，所以摩擦力对货物做功
\[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]
C 错。相对轨迹是曲线，其弧长也不等于 \(v^2/(\mu g)\)，D 错。答案为 A、B。
易错点
- 把相对位移某个分量当成划痕长度
初学者探索过程
从“垂直传送带与相对运动”开始探索
先把“A组第5题：垂直冲上传送带”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第5题：垂直冲上传送带”后，判断为什么“把相对位移某个分量当成划痕长度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“二维相对运动、摩擦功与热量分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把相对位移某个分量当成划痕长度。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“二维相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“摩擦功与热量分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“二维相对运动、摩擦功与热量分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“垂直传送带与相对运动”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“A组第5题：垂直冲上传送带”训练的“二维相对运动、摩擦功与热量分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“A组第5题：垂直冲上传送带”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
W_f=\Delta E_k=\frac12m(2v^2)-\frac12mv^2=\frac12mv^2,
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：二维传送带上的轨迹方程
**基础设问**
传送带沿 \(y\) 轴正方向以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 运动，物块以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 沿 \(x\) 轴冲上带面。滑动摩擦产生的加速度为 \(2\,\mathrm{m/s^2}\)，求物块对地轨迹方程以及达到与带同速所需时间。
**综合提升**
在原粗糙运动模型中，把摩擦因数设为分段值：前半程为 \(\mu_1\)，后半程为 \(\mu_2\)。（1）用全过程动能定理求末速度；（2）反求恰好到达终点时 \(\mu_1,\mu_2\) 的关系；（3）若原路返回，写出往返总摩擦功；（4）说明为什么只看位移不能求摩擦功。
变式答案
**1. 基础设问**
\(x=4t\)、\(y=t^2\)，故 \(y=x^2/16\)。当 \(v_y=2t=3\) 时相对静止，所以 \(t=1.5\,\mathrm s\)。
**2. 综合提升**
若两段路程分别为 \(s_1,s_2\)，法向力为 \(N_1,N_2\)，则
\[\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2=W_{其他}-\mu_1N_1s_1-\mu_2N_2s_2.\]
恰好到达时令 \(v_2=0\) 即得参数关系。原路返回时摩擦仍做负功，往返总摩擦功按总路程相加而不是按净位移抵消。
思路提示
**基础思路**
把两个互相垂直的分运动分别写出，再消去时间；达到同速只需比较传送带方向的速度分量。
**进阶思路**
把路径按受力规律分段，每段独立算功后再一次性连接初末动能；摩擦功依赖路程。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“垂直传送带与相对运动”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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