题目
小船从 \(M\) 点出发横渡一条河，船头始终垂直于河岸方向，船速大小不变。小船的实际运动轨迹先向下游弯曲加剧、经过中部后弯曲减弱并到达对岸 \(N\) 点。能表示河水流速随横向位置变化的是（ ）。
选项
- A. 水速从 \(M\) 岸到 \(N\) 岸逐渐增大
- B. 水速从 \(M\) 岸到 \(N\) 岸逐渐减小
- C. 水速先增大后减小，河道中部附近最大
- D. 水速先减小后增大，河道中部附近最小
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：渡河时间与轨迹
训练能力：垂直河岸分量提取、相遇条件判断
前置知识：速度合成、三角函数
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立分速度
以 \(y\) 表示垂直河岸方向、\(x\) 表示顺流方向。船头始终垂直河岸，故 \(\dot y=v_{\text{船}}\)，\(\dot x=u(y)\)。
2. 用轨迹斜率读水速
消去时间得到 \(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\dfrac{u(y)}{v_{\text{船}}}\)。船速不变，因此轨迹越偏向下游，局部水速越大。
3. 对应题图
轨迹斜率从岸边到中部增大、再向对岸减小，说明水速先增大后减小。
4. 得出结论
河道中部附近流速最大，答案为 C。
初学者探索过程
从“渡河时间与轨迹”开始探索
先把“第2题：非均匀水流渡河”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第2题：非均匀水流渡河”后，判断为什么“把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向。
检查这个想法：先执行：先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{u(y)}{v_{\text{船}}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“垂直河岸分量提取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“相遇条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{u(y)}{v_{\text{船}}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
渡船航线与侧风修正：现实中的“渡河时间与轨迹”
现实场景
渡船、无人机和飞机都需要用自身相对介质的速度抵消水流或侧风，才能到达预定位置。
题目与现实如何对应
题目中的船速和水速对应载具相对介质速度与介质漂移速度，河宽对应必须跨越的横向距离。 当前题目“第2题：非均匀水流渡河”训练的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{u(y)}{v_{\text{船}}}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实流速会随位置和时间变化。
- 载具速度存在功率上限和操纵延迟。
带回原题想一想
把“第2题：非均匀水流渡河”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”建立模型。可先使用：
\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{u(y)}{v_{\text{船}}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{u(y)}{v_{\text{船}}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由轨迹方程反演水速
河宽为 \(d\)，船头始终垂直河岸，静水船速为 \(v\)。测得实际轨迹满足
\[x(y)=\frac{u_0}{v}y+\frac{u_1}{v}\left[\frac y2-\frac{d}{4\pi}\sin\left(\frac{2\pi y}{d}\right)\right].\]
求水速分布 \(u(y)\)，并指出水速最大的位置与最大值。
变式答案
**速度关系**
由 \(\mathrm dx/\mathrm dy=u(y)/v\)。
**求导**
\[u(y)=v\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=u_0+\frac{u_1}{2}\left[1-\cos\left(\frac{2\pi y}{d}\right)\right].\]
**化简**
利用 \(1-\cos2\theta=2\sin^2\theta\)，得 \(u(y)=u_0+u_1\sin^2(\pi y/d)\)。
**结论**
在 \(y=d/2\) 处水速最大，\(u_{\max}=u_0+u_1\)。
思路提示
**思路**
不要先求渡河时间。船的横向速度恒为 \(v\)，所以轨迹对 \(y\) 的导数就是顺流速度与 \(v\) 的比值。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“运动合成与小船渡河”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料