题目
在某次风洞实验中，将质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的物体从 \(A\) 点以 \(v_A=5\sqrt3\,\mathrm{m/s}\) 的初速度水平抛出。物体运动到 \(B\) 点时的速度 \(v_B=5\sqrt3\,\mathrm{m/s}\)，\(v_A\)、\(v_B\) 与 \(AB\) 连线的夹角均为 \(30^\circ\)，\(A\)、\(B\) 两点间距离 \(s=7.5\,\mathrm m\)。风洞对物体的作用力 \(F\) 恒定且方向与纸面平行，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. \(F=5\sqrt3\,\mathrm N\)，方向竖直向上
- B. \(F=5\sqrt3\,\mathrm N\)，方向斜向左上方且与水平方向成 \(30^\circ\)
- C. \(F=5\,\mathrm N\)，方向竖直向下
- D. \(F=5\,\mathrm N\)，方向斜向左上方且与水平方向成 \(30^\circ\)
学习定位
曲线运动与矢量分析
题族：二维运动的矢量合成
训练能力：分运动选择、矢量图像转换
前置知识：运动独立性、速度合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由平均速度求时间
恒加速度运动的平均速度为 \((\vec v_A+\vec v_B)/2\)。两端速度关于 \(AB\) 对称，平均速度沿 \(AB\)，大小为 \(7.5\,\mathrm{m/s}\)，故运动时间 \(t=s/\bar v=1\,\mathrm s\)。
2. 由速度变化求合加速度
取水平向右、竖直向上为正，\(\vec v_A=(5\sqrt3,0)\)，\(\vec v_B=(5\sqrt3\cos60^\circ,-5\sqrt3\sin60^\circ)\)。由 \(\vec a=\Delta\vec v/t\) 得合加速度。
3. 分离风力与重力
合力满足 \(m\vec a=\vec F+m\vec g\)。将重力从合力矢量中扣除，得到 \(\vec F=(-5\sqrt3/2,5/2)\,\mathrm N\)。
4. 得出结论
风力大小为 \(5\,\mathrm N\)，方向斜向左上方且与水平方向成 \(30^\circ\)，答案 D。
初学者探索过程
从“二维运动的矢量合成”开始探索
先把“第9题：风洞恒力曲线运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第9题：风洞恒力曲线运动”后，判断为什么“认为速度方向总与合力或加速度方向相同”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分运动选择、矢量图像转换”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为速度方向总与合力或加速度方向相同。
检查这个想法：先执行：先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec F=m\frac{\Delta\vec v}{t}-m\vec g\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分运动选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“矢量图像转换”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec F=m\frac{\Delta\vec v}{t}-m\vec g\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分运动选择、矢量图像转换”如何受条件变化控制。
现实同构案例
道路轨迹规划与运动追踪：现实中的“二维运动的矢量合成”
现实场景
无人机、运动相机和导航软件会从连续位置数据重建速度方向与转弯趋势，用于轨迹控制和风险预测。
题目与现实如何对应
题目中的轨迹与速度箭头对应定位数据和瞬时运动方向，加速度对应控制系统改变速度矢量的效果。 当前题目“第9题：风洞恒力曲线运动”训练的“分运动选择、矢量图像转换”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec F=m\frac{\Delta\vec v}{t}-m\vec g\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v=\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt},\qquad \vec a=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\]
曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 采样频率会影响速度和曲率估计。
- 风、路面和控制延迟会使实际轨迹偏离理想曲线。
带回原题想一想
把“第9题：风洞恒力曲线运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”建立模型。可先使用：
\[\vec F=m\frac{\Delta\vec v}{t}-m\vec g\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec F=m\frac{\Delta\vec v}{t}-m\vec g\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：对称端速度反求外力通式
质量为 \(m\) 的物体在重力和恒定风力共同作用下由 \(A\) 运动到 \(B\)。初、末速度大小均为 \(v\)，方向分别位于位移 \(AB\) 两侧并与 \(AB\) 成 \(\phi\)，位移大小为 \(s\)。求运动时间、合加速度，并写出风力矢量的求法。
变式答案
**运动时间**
恒加速度下 \(\bar{\vec v}=(\vec v_A+\vec v_B)/2\)。对称分量相消，沿 \(AB\) 的平均速度为 \(v\cos\phi\)，所以 \(t=s/(v\cos\phi)\)。
**合加速度**
取沿 \(AB\) 和垂直 \(AB\) 的坐标，两速度的沿程分量相同，垂直分量反向，故 \(|\Delta\vec v|=2v\sin\phi\)，\(|\vec a|=2v^2\sin\phi\cos\phi/s\)。
**风力矢量**
先按图中方向写出 \(\vec a=\Delta\vec v/t\)，再用 \(\vec F=m\vec a-m\vec g\)。
**结论**
风力大小和方向必须由最后的矢量差确定，不能只由轨迹凹向判断。
思路提示
**思路**
对称的初末速度最适合用“和”求平均速度、用“差”求加速度；重力属于合力的一部分，最后再从 \(m\vec a\) 中分离。