题目
从同一点水平抛出三个小球，分别撞在同一竖直墙壁上的 \(a\)、\(b\)、\(c\) 点。小球撞到墙壁时的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为 \(60^\circ\)、\(45^\circ\)、\(30^\circ\)。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 落在 \(a\) 点的小球撞在墙面的速度最小
- B. 三个小球撞在墙面的速度一定满足 \(v_a\gt v_c\gt v_b\)
- C. 落在 \(c\) 点的小球飞行时间最短
- D. \(a\)、\(b\)、\(c\) 三点速度方向的反向延长线交于一点
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 用角度反求初速度
设墙距为 \(L\)，撞墙速度与竖直方向夹角为 \(\beta\)。由 \(\tan\beta=v_x/v_y\) 和 \(t=L/v_0\)，得 \(v_0^2=gL\tan\beta\)。
2. 比较时间与末速度
角度越大，\(v_0\) 越大、飞行时间越短。末速度满足 \(v^2=2gL/\sin2\beta\)，因此 \(v_a=v_c\gt v_b\)。
3. 证明反向延长线共点
撞墙点下落量为 \(y=\frac12gt^2\)，轨迹切线斜率为 \(v_y/v_x=2y/L\)。切线方程均经过发射点与墙面之间的水平中点。
4. 得出结论
只有 D 正确。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“第7题：平抛撞墙角度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第7题：平抛撞墙角度”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v^2=\frac{2gL}{\sin2\beta}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v^2=\frac{2gL}{\sin2\beta}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“第7题：平抛撞墙角度”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v^2=\frac{2gL}{\sin2\beta}\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“第7题：平抛撞墙角度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[v^2=\frac{2gL}{\sin2\beta}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v^2=\frac{2gL}{\sin2\beta}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意撞墙点切线的公共点
从同一位置以不同水平初速度抛出若干小球，它们均撞到距发射点水平距离为 \(L\) 的竖直墙。证明所有撞墙瞬间速度方向的反向延长线必经过同一点，并给出该点相对发射点的位置。
变式答案
**撞墙位置**
设某球下落量为 \(y=\frac12gt^2\)，墙上坐标为 \((L,y)\)。
**切线斜率**
\[k=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}=\frac{gt^2}{L}=\frac{2y}{L}.\]
**切线方程**
\[Y-y=\frac{2y}{L}(X-L).\]
令 \(Y=0\)，得到 \(X=L/2\)。
**结论**
所有反向延长线都经过发射点与墙面之间的水平中点 \((L/2,0)\)。
思路提示
**思路**
公共点不是发射点。关键恒等式是“平抛末速度斜率等于平均位移斜率的两倍”，即 \(v_y/v_x=2y/L\)。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料