题目
如图所示的玩具转盘半径为 \(l\)，角速度 \(\omega\) 可以调节，转盘中心 \(O\) 点固定了一竖直杆。质量为 \(m\) 的小球用轻绳 \(AC\) 和轻杆 \(BC\) 一起连接在竖直杆上，轻绳 \(AC\) 长为 \(l\)，与竖直杆上 \(A\) 点相连；轻杆 \(BC\) 用铰链连接在竖直杆上的 \(B\) 点且可绕 \(B\) 点自由转动，\(OB=\frac32l\)。
圆盘静止时，轻绳 \(AC\) 与竖直方向夹角 \(\theta_1=30^\circ\)，轻杆 \(BC\) 与竖直方向夹角 \(\theta_2=45^\circ\)。不计摩擦阻力，重力加速度为 \(g\)。
（1）要保持轻绳拉直，求 \(\omega\) 的取值范围。
（2）当 \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\) 时，求轻绳 \(AC\)、轻杆 \(BC\) 所受的力的大小。
（3）在转动过程中小球忽然脱离，要求小球不能碰到圆盘，求 \(\omega\) 的取值范围。
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
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分步解析
1. 几何定半径和高度
因为 \(AC=l\)，且 \(AC\) 与竖直方向夹角为 \(30^\circ\)，小球到竖直杆的水平距离为 \(r=l\sin30^\circ=\frac12l\)。由题图 \(OB=\frac32l\)、\(\theta_2=45^\circ\)，小球 \(C\) 离圆盘面的高度为 \(h=OB-r\cot45^\circ=l\)。
2. 建立受力方程
设轻绳拉力为 \(T\)，轻杆对小球沿 \(CB\) 方向的作用力为 \(F\)，取水平方向指向杆为正、竖直向上为正。小球做水平圆周运动，满足
\(T\sin30^\circ+F\sin45^\circ=m\omega^2r\)，
\(T\cos30^\circ+F\cos45^\circ=mg\)。
3. 保持轻绳拉直
解方程得到 \(T\ge0\) 的条件。代入 \(r=\frac12l\)、\(\theta_1=30^\circ\)、\(\theta_2=45^\circ\)，可得 \(\omega^2\le \frac{2g}{l}\)，所以 \(0\le\omega\le\sqrt{\frac{2g}{l}}\)。
4. 代入 \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)
此时 \(m\omega^2r=\frac12mg\)。联立两式得 \(T=\frac{1+\sqrt3}{2}mg\)，而 \(F=\frac{1-\sqrt3}{2}mg\)。负号表示轻杆对小球的作用方向与假设的 \(CB\) 方向相反，因此轻杆所受力的大小为 \(\frac{\sqrt3-1}{2}mg\)。
5. 脱离后不碰圆盘
小球脱离瞬间沿切线水平飞出，高度为 \(h=l\)，到圆盘面的下落时间 \(t=\sqrt{\frac{2l}{g}}\)。小球从半径 \(r=\frac12l\) 处切向飞出，到圆盘边缘还需水平位移 \(s=\sqrt{l^2-r^2}=\frac{\sqrt3}{2}l\)。要求 \(\omega r t\ge s\)，得 \(\omega\ge\sqrt{\frac{3g}{2l}}\)。结合轻绳拉直范围，得到 \(\sqrt{\frac{3g}{2l}}\le\omega\le\sqrt{\frac{2g}{l}}\)。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“第17题：轻绳轻杆双约束圆周”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第17题：轻绳轻杆双约束圆周”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第17题：轻绳轻杆双约束圆周”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第17题：轻绳轻杆双约束圆周”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：双约束力的参数域
### 基础设问
小球用长为 \(l\) 的轻绳连接在竖直轴上，轻绳与竖直方向成 \(60^\circ\)，小球做水平圆周运动。求角速度 \(\omega\)。
### 综合提升
把轻绳、轻杆与竖直方向的夹角推广为 \(\theta_1,\theta_2\)，小球水平圆周半径为 \(r\)。（1）用 \(\omega\) 表示绳张力与杆力；（2）由绳只能拉求角速度范围；（3）求杆力换向的临界角速度；（4）若小球脱离后从高度 \(h\) 切向飞出，写出不碰半径 \(R\) 圆盘的判据。
变式答案
### 1. 基础设问
由 \(T\cos60^\circ=mg\)、\(T\sin60^\circ=m\omega^2l\sin60^\circ\)，得 \(\omega^2=\frac{g}{l\cos60^\circ}=\frac{2g}{l}\)，所以 \(\omega=\sqrt{\frac{2g}{l}}\)。
### 2. 综合提升
设绳力 \(T\)、杆沿假定方向的力 \(F\)，联立
\[T\sin\theta_1+F\sin\theta_2=m\omega^2r,\qquad T\cos\theta_1+F\cos\theta_2=mg.\]
解出 \(T(\omega),F(\omega)\) 后，\(T\ge0\) 给绳保持拉直的范围，\(F=0\) 给杆由拉变压或由压变拉的临界。脱离后下落时间 \(t=\sqrt{2h/g}\)，切向位移 \(\omega rt\) 应不小于从当前半径到圆盘边缘所需的几何弦长。
思路提示
### 1. 基础思路
水平圆周题先用竖直方向平衡求约束力，再用水平方向合力提供向心力。
### 2. 进阶思路
先保留两种约束力的符号，负号只表示杆力换向；绳张力非负才是真正限制模型存在的单向条件。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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