题目
一只船从河岸 \(A\) 处渡河，河宽 \(d=30\,\mathrm{m}\)，水速 \(v_{\text{水}}=10\,\mathrm{m/s}\)，距 \(A\) 下游 \(L=40\,\mathrm{m}\) 处有瀑布。为使小船靠岸时不至于被冲进瀑布，求船相对静水的最小速度。
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：最短航程与临界渡河
训练能力：速度圆分析、极值与临界判断
前置知识：矢量合成、最短距离
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 找临界轨迹
小船刚好安全时，应从 \(A\) 点到达对岸瀑布前的边界点，位移方向对应 \((L,d)=(40,30)\)。因此临界方向的斜边长度为 \(\sqrt{L^2+d^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\,\mathrm{m}\)。
2. 把水速投到临界方向的垂直方向
船对地的合速度必须沿临界方向或更偏上游。要让船速最小，船速矢量应恰好垂直于临界合速度方向。
3. 代入最小值公式
临界方向与水流方向夹角为 \(\alpha\)，有 \(\sin\alpha=\frac{d}{\sqrt{L^2+d^2}}=\frac{30}{50}=\frac35\)。所以 \(v_{\min}=v_{\text{水}}\sin\alpha=10\times\frac35=6\,\mathrm{m/s}\)。
初学者探索过程
从“最短航程与临界渡河”开始探索
先把“课上第10题：瀑布临界渡河”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第10题：瀑布临界渡河”后，判断为什么“把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“速度圆分析、极值与临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向。
检查这个想法：先执行：先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“速度圆分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“极值与临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“速度圆分析、极值与临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
渡船航线与侧风修正：现实中的“最短航程与临界渡河”
现实场景
渡船、无人机和飞机都需要用自身相对介质的速度抵消水流或侧风，才能到达预定位置。
题目与现实如何对应
题目中的船速和水速对应载具相对介质速度与介质漂移速度，河宽对应必须跨越的横向距离。 当前题目“课上第10题：瀑布临界渡河”训练的“速度圆分析、极值与临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实流速会随位置和时间变化。
- 载具速度存在功率上限和操纵延迟。
带回原题想一想
把“课上第10题：瀑布临界渡河”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”建立模型。可先使用：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：危险边界与最小船速
### 基础设问
一只船从河岸 \(A\) 处渡河，河宽 \(d=24\,\mathrm{m}\)，水速 \(v_{\text{水}}=8\,\mathrm{m/s}\)，距 \(A\) 下游 \(L=32\,\mathrm{m}\) 处有危险区。为使小船靠岸时不被冲入危险区，船相对静水的最小速度是多少？
### 综合提升
河宽为 \(d\)，匀速水流为 \(u\)，对岸危险边界位于出发点下游 \(L\) 处。（1）用矢量几何推导安全渡河所需最小船速；（2）求最优船头方向；（3）若船启动前随水漂流时间 \(\tau\)，重新写出最小速度；（4）讨论当可用船速低于该临界值时的最短安全距离。
变式答案
### 1. 基础设问
\(\sqrt{L^2+d^2}=\sqrt{32^2+24^2}=40\,\mathrm{m}\)，所以 \(v_{\min}=8\times\frac{24}{40}=4.8\,\mathrm{m/s}\)。
### 2. 综合提升
临界合速度沿 \((L,d)\) 方向，最小船速是水速对该方向法线的分量：
\[v_{b,\min}=u\frac{d}{\sqrt{L^2+d^2}}.\]
船速矢量应垂直临界合速度。若先漂流 \(\tau\)，剩余下游裕量变为 \(L-u\tau\)，在其为正时将 \(L\) 替换为 \(L-u\tau\)。若可用船速更小，速度圆与安全方向域无交点，必须改变出发点或接受更大的下游落点。
思路提示
### 1. 基础思路
仍然取“刚好不进入危险区”的临界轨迹，把船对地合速度方向设为从出发点指向对岸危险区前边界点。最小船速等于水速在临界方向垂直方向上的分量。
### 2. 进阶思路
把安全要求画成允许的合速度方向扇区；最小船速对应水速矢量端点到边界射线的最短距离。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“运动合成与小船渡河”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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