题目
如图 1，某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 \(m\) 的小球，甩动手腕，使球运动起来，最终在水平面内做匀速圆周运动。已知轻绳能承受的最大拉力为 \(2mg\)，握绳的手离地面高度为 \(6l\)，手与球之间的绳长为 \(l\)，重力加速度为 \(g\)，忽略空气阻力。
（1）当绳与竖直方向的夹角为 \(\alpha\)，且绳子的拉力小于最大值，求小球运动的周期。
（2）当小球的速度大小为 \(v_1\) 时，轻绳刚好断掉，求此时小球速度大小 \(v_1\) 和这种情况下小球落地前瞬间的速度大小 \(v_2\)。
（3）如图 2，保持手的高度不变，改变绳长，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最低点时绳子刚好拉断。要使小球抛出的水平距离最大，最大水平距离为多少？
学习定位
抛体运动与功率
题族：圆周运动断约束后的抛体
训练能力：约束切换判断、多阶段最值求解
前置知识：圆周运动、平抛运动
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分步解析
1. 圆锥摆周期
小球做水平圆周运动时，半径 \(r=l\sin\alpha\)。竖直方向平衡：\(T\cos\alpha=mg\)；水平方向向心：\(T\sin\alpha=m\omega^2l\sin\alpha\)。消去 \(T\) 得 \(\omega^2=\frac{g}{l\cos\alpha}\)，所以周期 \(T_0=2\pi\sqrt{\frac{l\cos\alpha}{g}}\)。
2. 刚断时的夹角
轻绳最大拉力为 \(2mg\)。由 \(T=\frac{mg}{\cos\alpha}\)，刚断时 \(\frac{mg}{\cos\alpha}=2mg\)，故 \(\cos\alpha=\frac12\)，即 \(\alpha=60^\circ\)。
3. 刚断速度 \(v_1\)
圆锥摆中 \(v^2=rg\tan\alpha=l\sin\alpha\cdot g\tan\alpha\)。代入 \(\alpha=60^\circ\)，得 \(v_1^2=\frac32gl\)，所以 \(v_1=\sqrt{\frac32gl}\)。
4. 落地前速度 \(v_2\)
刚断时小球高度为 \(h=6l-l\cos60^\circ=\frac{11}{2}l\)。断后做平抛，机械能或速度合成给出 \(v_2^2=v_1^2+2gh=\frac32gl+11gl=\frac{25}{2}gl\)，所以 \(v_2=5\sqrt{\frac{gl}{2}}\)。
5. 最低点断绳的最大水平距离
若改用绳长 \(L\)，最低点刚断时满足 \(T-mg=m\frac{v^2}{L}\)，且 \(T=2mg\)，所以 \(v^2=gL\)。最低点高度为 \(6l-L\)，平抛射程 \(x=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{2(6l-L)}{g}}=\sqrt{2L(6l-L)}\)。当 \(L=3l\) 时最大，最大水平距离 \(x_{\max}=3\sqrt2\,l\)。
初学者探索过程
从“圆周运动断约束后的抛体”开始探索
先把“第18题：手绳圆周断裂抛体”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第18题：手绳圆周断裂抛体”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“约束切换判断、多阶段最值求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“约束切换判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“多阶段最值求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“约束切换判断、多阶段最值求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“圆周运动断约束后的抛体”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“第18题：手绳圆周断裂抛体”训练的“约束切换判断、多阶段最值求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“第18题：手绳圆周断裂抛体”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：一般最大拉力下的断绳最值
### 基础设问
长为 \(l\) 的轻绳系小球做圆锥摆，绳最大拉力为 \(3mg\)。若刚断后小球水平飞出，求刚断时 \(\cos\alpha\) 与速度表达式。
### 综合提升
轻绳最大拉力为 \(\kappa mg\)，手离地高度为 \(H\)。（1）求圆锥摆断绳时的夹角和速度；（2）求断后落地速度；（3）若改为长 \(L\) 的绳在竖直圆周最低点断裂，求水平射程 \(x(L)\)；（4）优化 \(L\) 并求最大射程。
变式答案
### 1. 基础设问
由 \(T\cos\alpha=mg\)、\(T=3mg\)，得 \(\cos\alpha=\frac13\)。再由 \(v^2=l\sin\alpha\cdot g\tan\alpha\)，可求刚断速度。
### 2. 综合提升
圆锥摆断绳时
\[\cos\alpha=\frac1\kappa,\qquad v_1^2=gl\left(\kappa-\frac1\kappa\right).\]
断点高度为 \(H-l/\kappa\)，故 \(v_2^2=v_1^2+2g(H-l/\kappa)\)。最低点断绳时 \(v^2=(\kappa-1)gL\)，射程
\[x(L)=\sqrt{2(\kappa-1)L(H-L)}.\]
乘积在 \(L=H/2\) 时最大，得到
\[x_{\max}=H\sqrt{\frac{\kappa-1}{2}}.\]
思路提示
### 1. 基础思路
圆锥摆断绳题先用最大拉力确定夹角，再用水平向心方程求速度，断后才进入平抛。
### 2. 进阶思路
先把最大拉力写成无量纲参数 (kappa)，再把断绳临界、平抛射程和二次函数最值串成同一条推导链。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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