题目
一个人用手握着长为 \(L\) 的轻绳一端，另一端连接一个可视为质点的滑块。手握的一端在水平桌面上做半径为 \(r\)、角速度为 \(\omega\) 的匀速圆周运动，绳的方向始终与该圆周相切，并使滑块在同一水平面内做半径更大的匀速圆周运动。取重力加速度为 \(g\)。关于滑块，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 角速度小于 \(\omega\)
- B. 线速度大小为 \(\omega L\)
- C. 受到的摩擦力方向沿其圆周运动的半径指向 \(O\) 点
- D. 与水平桌面间的动摩擦因数为 \(\dfrac{\omega^2r\sqrt{L^2+r^2}}{gL}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定滑块轨道半径
半径 \(r\) 与切线段 \(L\) 垂直，所以滑块到圆心的距离为 \(R=\sqrt{r^2+L^2}\)。
2. 确定角速度和线速度
手端、绳和滑块构成的直角三角形整体转动，滑块角速度同为 \(\omega\)，线速度为 \(v=\omega R\)。
3. 分解水平方向受力
绳张力沿绳，并不指向 \(O\)；摩擦力与张力的合力才指向圆心。将摩擦力在半径方向分解可得 \(\mu mg\,L/R=m\omega^2r\)。
4. 得出结论
\(\mu=\omega^2rR/(gL)=\omega^2r\sqrt{L^2+r^2}/(gL)\)，答案 D。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“第10题：切线轻绳双圆运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第10题：切线轻绳双圆运动”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega_{滑}=\omega_{手}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega_{滑}=\omega_{手}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第10题：切线轻绳双圆运动”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega_{滑}=\omega_{手}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第10题：切线轻绳双圆运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega_{滑}=\omega_{手}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega_{滑}=\omega_{手}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同时求摩擦因数与绳张力
在同一切线轻绳模型中，滑块质量为 \(m\)。除求维持运动所需的动摩擦因数外，再求绳张力 \(T\)，并判断在什么几何条件下绳始终保持张紧。
变式答案
**几何半径**
滑块半径 \(R=\sqrt{L^2+r^2}\)。
**摩擦因数**
由垂直绳方向分量得 \(\mu=\omega^2rR/(gL)\)。
**绳张力**
沿绳方向列式可得 \(T=m\omega^2(L^2-r^2)/L\)。
**张紧条件**
轻绳只能拉不能推，要求 \(T\ge0\)，因此 \(L\ge r\)；若 \(L\lt r\)，该设定不能靠轻绳维持。
思路提示
**思路**
选取“沿绳”和“垂直绳”两个正交方向分解向心加速度。垂直绳方向先消去张力求摩擦，沿绳方向再反求张力并检查正负。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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