题目
质量分别为 \(2\,\mathrm{kg}\) 和 \(3\,\mathrm{kg}\) 的物体 \(A\)、\(B\) 通过轻绳跨过轻质定滑轮相连接。在水平力 \(F\) 作用下，\(B\) 沿水平地面向右运动，\(A\) 恰以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 匀速上升。已知 \(B\) 与地面间的动摩擦因数为 \(0.2\)，\(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。当斜绳与水平方向成 \(\alpha=53^\circ\) 时（\(\sin53^\circ=0.8\)，\(\cos53^\circ=0.6\)），下列选项正确的是（多选）。
选项
- A. \(B\) 所受摩擦力为 \(2.8\,\mathrm N\)
- B. \(B\) 所受摩擦力为 \(6\,\mathrm N\)
- C. \(B\) 的速度大小为 \(5\,\mathrm{m/s}\)
- D. \(F\) 小于 \(14.8\,\mathrm N\)
学习定位
连接体与约束
题族：绳杆约束速度
训练能力：约束方程建立、速度投影
前置知识：不可伸长约束、瞬时速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由 A 匀速求张力
\(A\) 匀速上升，故 \(T=m_Ag=20\,\mathrm N\)。
2. 用绳长约束求 B 速度
斜绳长度增加率等于 A 端绳长减少率，故 \(v_B\cos\alpha=v_A\)，得到 \(v_B=3/0.6=5\,\mathrm{m/s}\)。
3. 求支持力和摩擦力
竖直方向 \(N+T\sin\alpha=m_Bg\)，得 \(N=14\,\mathrm N\)，所以 \(f=\mu N=2.8\,\mathrm N\)。
4. 判断水平力范围
随着 \(B\) 右移，\(\cos\alpha\) 增大；为保持 \(v_B\cos\alpha=v_A\) 恒定，\(B\) 必须减速。因此 \(F-T\cos\alpha-f=m_Ba_B\lt0\)，得 \(F\lt14.8\,\mathrm N\)。
初学者探索过程
从“绳杆约束速度”开始探索
先把“第12题：滑轮连接体关联速度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第12题：滑轮连接体关联速度”后，判断为什么“把两个端点的速度大小直接判为相等”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“约束方程建立、速度投影”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把两个端点的速度大小直接判为相等。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[f=\mu(m_Bg-T\sin\alpha)\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“约束方程建立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“速度投影”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[f=\mu(m_Bg-T\sin\alpha)\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“约束方程建立、速度投影”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“绳杆约束速度”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“第12题：滑轮连接体关联速度”训练的“约束方程建立、速度投影”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[f=\mu(m_Bg-T\sin\alpha)\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“第12题：滑轮连接体关联速度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[f=\mu(m_Bg-T\sin\alpha)\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[f=\mu(m_Bg-T\sin\alpha)\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：关联速度与力的符号判断
将原模型推广为 \(A\) 质量 \(m_A\)、\(B\) 质量 \(m_B\)，A 以恒速 \(u\) 上升，斜绳与水平夹角为 \(\alpha\)，动摩擦因数为 \(\mu\)。求 \(v_B\)、支持力和摩擦力，并在 B 向右移动时判断其加速度方向及水平力 \(F\) 与 \(T\cos\alpha+f\) 的大小关系。
变式答案
**关联速度**
\(v_B\cos\alpha=u\)，所以 \(v_B=u/\cos\alpha\)。
**竖直受力**
A 匀速给出 \(T=m_Ag\)。对 B 有 \(N=m_Bg-T\sin\alpha\)，故 \(f=\mu(m_Bg-m_Ag\sin\alpha)\)。
**加速度方向**
B 右移时斜绳更趋水平，\(\cos\alpha\) 增大；为保持乘积 \(v_B\cos\alpha=u\)，\(v_B\) 减小，所以 \(a_B\lt0\)。
**力的比较**
由 \(F-T\cos\alpha-f=m_Ba_B\lt0\)，得 \(F\lt T\cos\alpha+f\)。
思路提示
**思路**
先做绳长的一阶导数得到速度，再用角度变化判断速度增减；力的大小关系只需要加速度符号，不需要知道滑轮高度。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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