题目
小船在宽 \(d=200\,\mathrm{m}\) 的河水中行驶，船在静水中的速度 \(v_{\text{船}}=2\,\mathrm{m/s}\)，水流速度 \(v_{\text{水}}=4\,\mathrm{m/s}\)。
若要使船能在最短距离内渡河，船应向什么方向划船？
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：最短航程与临界渡河
训练能力：速度圆分析、极值与临界判断
前置知识：矢量合成、最短距离
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 先判断能否正对岸到达
若要合速度垂直河岸，需要船速在沿河方向上完全抵消水流速度。但 \(v_{\text{船}}=2\,\mathrm{m/s}<v_{\text{水}}=4\,\mathrm{m/s}\)，无法抵消水流，所以不能到达正对岸。
2. 最短距离对应速度圆切线
在速度矢量图中，以水流速度矢量末端为圆心、\(v_{\text{船}}\) 为半径作速度圆。船速小于水速时，合速度方向能取得的最靠近垂直河岸的方向，是从出发点向速度圆作切线的方向。
3. 求角度
设最短位移时船头方向与上游河岸方向的夹角为 \(\alpha\)，由切线直角三角形得 \(\cos\alpha=\frac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，所以 \(\alpha=60^\circ\)。
初学者探索过程
从“最短航程与临界渡河”开始探索
先把“课上第9题：小船渡河进阶”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第9题：小船渡河进阶”后，判断为什么“把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“速度圆分析、极值与临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向。
检查这个想法：先执行：先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“速度圆分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“极值与临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“速度圆分析、极值与临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
渡船航线与侧风修正：现实中的“最短航程与临界渡河”
现实场景
渡船、无人机和飞机都需要用自身相对介质的速度抵消水流或侧风，才能到达预定位置。
题目与现实如何对应
题目中的船速和水速对应载具相对介质速度与介质漂移速度，河宽对应必须跨越的横向距离。 当前题目“课上第9题：小船渡河进阶”训练的“速度圆分析、极值与临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实流速会随位置和时间变化。
- 载具速度存在功率上限和操纵延迟。
带回原题想一想
把“课上第9题：小船渡河进阶”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”建立模型。可先使用：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：船速小于水速时的最短航程
### 基础设问
河宽一定，船速 \(3\,\mathrm{m/s}\)，水速 \(6\,\mathrm{m/s}\)。求最短位移渡河时的速度圆临界角。
### 综合提升
河宽为 \(d\)，船速 \(v_b
变式答案
### 1. 基础设问
船速小于水速，不能抵消水流。速度圆切线给出最短位移方向，若 \(\cos\alpha=\frac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}=\frac12\)，则 \(\alpha=60^\circ\)。
### 2. 综合提升
速度圆切线给出船头与上游河岸方向夹角 \(\alpha\) 满足
\[\cos\alpha=\frac{v_b}{u}.\]
临界合速度方向与水流方向夹角 \(\beta\) 满足 \(\sin\beta=v_b/u\)。实际航程
\[S_{\min}=\frac{d}{\sin\beta}=\frac{du}{v_b}.\]
当 \(v_b/u\to1^-\) 时 \(S_{\min}\to d\)；当比值趋零时最短航程发散。
思路提示
### 1. 基础思路
先判断 \(v_{\text{船}}\lt v_{\text{水}}\)，再用速度圆切线，而不是硬套正对岸到达。
### 2. 进阶思路
船速不足以抵消水流时，目标从‘正对岸’切换为‘位移方向最靠近法线’，切线条件直接给出极值。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“运动合成与小船渡河”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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