题目
两个完全相同的小木块 \(a\)、\(b\) 用轻绳连接并置于水平圆盘上，\(a\) 与转轴 \(OO'\) 的距离为 \(l\)。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块与圆盘保持相对静止。\(\omega\) 表示圆盘角速度，\(a\)、\(b\) 所受摩擦力 \(f\) 与 \(\omega^2\) 的关系如题图所示：图线（1）先达到平台值 \(f_2\)，图线（2）在 \(\omega_1^2\) 处由 \(f_1\) 改变斜率并在 \(\omega_2^2\) 处达到 \(f_2\)，且 \(f_2=3f_1\)。下列判断正确的是（多选）。
选项
- A. 图线（1）对应物体 \(a\)
- B. 绳长为 \(2l\)
- C. \(\omega_2=\dfrac32\omega_1\)
- D. \(\omega=\omega_2\) 时绳上张力大小为 \(\dfrac12f_2\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 识别两条图线
在张力出现前，摩擦力为 \(f=m\omega^2r\)。外侧木块半径较大，图线斜率更大并先达到最大静摩擦，所以图线（1）对应 \(b\)。
2. 由第一临界点求绳长
在 \(\omega_1\) 时张力刚出现，\(f_2/f_1=r_b/r_a=3\)。由 \(r_a=l\) 得 \(r_b=3l\)，故绳长为 \(2l\)。
3. 求第二临界角速度
在 \(\omega_2\) 时两块摩擦力均为 \(f_2\)。对两块组成的系统列向心力：\(2f_2=m\omega_2^2(l+3l)\)。结合 \(f_2=3ml\omega_1^2\)，得 \(\omega_2^2=\frac32\omega_1^2\)。
4. 求绳张力
对外块列式 \(f_2+T=m\omega_2^2(3l)\)，代入上式得 \(T=f_2/2\)。所以 B、D 正确。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“第15题：圆盘双木块摩擦图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第15题：圆盘双木块摩擦图像”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm d(\omega^2)}=mr\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm d(\omega^2)}=mr\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第15题：圆盘双木块摩擦图像”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm d(\omega^2)}=mr\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第15题：圆盘双木块摩擦图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm d(\omega^2)}=mr\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac{\mathrm df}{\mathrm d(\omega^2)}=mr\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：推广摩擦平台比值
在同一双木块圆盘模型中，设第一临界点有 \(f_{b,\max}=k f_a\)，其中 \(k\gt1\)，内块半径为 \(l\)。两块最大静摩擦力相同。求绳长、第二临界角速度与第一临界角速度之比，以及第二临界时的张力。
变式答案
**绳长**
第一临界时张力为零，\(r_b/r_a=k\)，故 \(r_b=kl\)，绳长为 \((k-1)l\)。
**角速度关系**
记最大静摩擦为 \(f_m=kml\omega_1^2\)。第二临界时 \(2f_m=m\omega_2^2(l+kl)\)，所以 \(\omega_2^2/\omega_1^2=2k/(k+1)\)。
**张力**
对外块：\(f_m+T=m\omega_2^2kl\)，得到 \(T=f_m(k-1)/(k+1)\)。
**检验**
取 \(k=3\) 可还原 \(L=2l\)、\(\omega_2^2/\omega_1^2=3/2\)、\(T=f_m/2\)。
思路提示
**思路**
把图像的两处拐点分别解释为“外块先达最大摩擦”和“两块同时达最大摩擦”，先看系统再看单个外块。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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