题目
某物体在竖直 \(y\) 方向（向上为正）和水平 \(x\) 方向运动的 \(v-t\) 图像如下：\(v_y\) 在 \(0\sim4\,\mathrm s\) 内由 \(0\) 匀增到 \(4\,\mathrm{m/s}\)，再在 \(4\sim8\,\mathrm s\) 内匀减到 \(0\)；\(v_x\) 在 \(0\sim4\,\mathrm s\) 内由 \(3\,\mathrm{m/s}\) 匀减到 \(1\,\mathrm{m/s}\)，随后保持不变。关于物体在 \(0\sim8\,\mathrm s\) 内的运动，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 物体在 \(2\,\mathrm s\) 时刻处于失重状态
- B. 物体在 \(0\sim4\,\mathrm s\) 内沿直线飞行
- C. 物体在 \(4\,\mathrm s\) 时上升至最高点
- D. 物体在 \(4\sim8\,\mathrm s\) 内做匀变速运动
学习定位
曲线运动与矢量分析
题族：二维运动的矢量合成
训练能力：分运动选择、矢量图像转换
前置知识：运动独立性、速度合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 读取前半段加速度
在 \(0\sim4\,\mathrm s\) 内，\(a_x=-0.5\,\mathrm{m/s^2}\)，\(a_y=1\,\mathrm{m/s^2}\)。初速度与加速度不共线，轨迹不是直线。
2. 读取后半段加速度
在 \(4\sim8\,\mathrm s\) 内，\(a_x=0\)，\(a_y=-1\,\mathrm{m/s^2}\)，加速度矢量恒定，所以是匀变速运动。
3. 判断最高点和失重
最高点应满足 \(v_y=0\)，对应 \(8\,\mathrm s\) 而非 \(4\,\mathrm s\)。\(2\,\mathrm s\) 时竖直加速度向上，不能据此判为失重。
4. 得出结论
只有 D 正确。
初学者探索过程
从“二维运动的矢量合成”开始探索
先把“第5题：二维速度图像合成”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第5题：二维速度图像合成”后，判断为什么“认为速度方向总与合力或加速度方向相同”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分运动选择、矢量图像转换”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为速度方向总与合力或加速度方向相同。
检查这个想法：先执行：先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[N-mg=ma_y\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分运动选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“矢量图像转换”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[N-mg=ma_y\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分运动选择、矢量图像转换”如何受条件变化控制。
现实同构案例
道路轨迹规划与运动追踪：现实中的“二维运动的矢量合成”
现实场景
无人机、运动相机和导航软件会从连续位置数据重建速度方向与转弯趋势，用于轨迹控制和风险预测。
题目与现实如何对应
题目中的轨迹与速度箭头对应定位数据和瞬时运动方向，加速度对应控制系统改变速度矢量的效果。 当前题目“第5题：二维速度图像合成”训练的“分运动选择、矢量图像转换”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[N-mg=ma_y\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v=\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt},\qquad \vec a=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\]
曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 采样频率会影响速度和曲率估计。
- 风、路面和控制延迟会使实际轨迹偏离理想曲线。
带回原题想一想
把“第5题：二维速度图像合成”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”建立模型。可先使用：
\[N-mg=ma_y\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[N-mg=ma_y\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由分段速度重建轨迹性质
质点在 \(0\le t\le6\,\mathrm s\) 内满足 \(v_x=4-t\)、\(v_y=2t\)；在 \(t\gt6\,\mathrm s\) 后满足 \(v_x=-2\)、\(v_y=12-3(t-6)\)。判断两个阶段分别是直线还是曲线运动，并求第二阶段到达最高点的时刻。
变式答案
**第一阶段**
\(\vec a=(-1,2)\)，而 \(\vec v(0)=(4,0)\)，二者不共线，所以做匀变速曲线运动。
**第二阶段**
\(\vec a=(0,-3)\)，\(v_x=-2\) 恒定，速度与加速度不共线，仍做匀变速曲线运动。
**最高点条件**
令 \(v_y=12-3(t-6)=0\)，得 \(t=10\,\mathrm s\)。
**结论**
两个阶段均为匀变速曲线运动，最高点出现在总时刻 \(10\,\mathrm s\)。
思路提示
**思路**
先对速度表达式求导得到加速度，再比较 \(\vec v\) 与 \(\vec a\) 是否共线；最高点只看 \(v_y=0\)，不能看速度大小。