题目
甲、乙两船从同一河流的同一岸边同时开始渡河，河宽为 \(d\)，\(M\)、\(N\) 分别是甲、乙两船的出发点。两船船头与河岸均成 \(\alpha\) 角，甲船船头恰好对准 \(N\) 点的正对岸 \(P\) 点；经过一段时间，乙船恰好到达 \(P\) 点。两船划船速度大小均为 \(v_0\)，相遇不影响各自航行。下列判断正确的是（多选）。
选项
- A. 水流方向向左，大小为 \(v_0\cos\alpha\)
- B. 两船同时到达河对岸，花费时间均为 \(\dfrac{d}{v_0\sin\alpha}\)
- C. 甲船水平位移为 \(\dfrac d{\sin\alpha}\)
- D. 甲、乙两船会在 \(PN\) 上某点相遇
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：渡河时间与轨迹
训练能力：垂直河岸分量提取、相遇条件判断
前置知识：速度合成、三角函数
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由乙船轨迹确定水流
乙船从 \(N\) 到正对岸 \(P\)，其沿岸合速度为零。因此水速方向与乙船沿岸分速度相反，大小为 \(v_0\cos\alpha\)。结合题图可知水流向右。
2. 比较渡河时间
两船垂直河岸的分速度均为 \(v_0\sin\alpha\)，所以渡河时间均为 \(d/(v_0\sin\alpha)\)。
3. 分析甲船水平运动
甲船的沿岸分速度与水流同向，故水平合速度为 \(2v_0\cos\alpha\)。又因 \(MN=d\cot\alpha\)，甲船走到 \(PN\) 所需时间恰为总渡河时间的一半。
4. 得出结论
两船在 \(PN\) 的中点相遇，B、D 正确。
初学者探索过程
从“渡河时间与轨迹”开始探索
先把“第11题：两船渡河相遇”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第11题：两船渡河相遇”后，判断为什么“把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向。
检查这个想法：先执行：先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec v_{水,\parallel}=-\vec v_{乙/水,\parallel}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“垂直河岸分量提取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“相遇条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec v_{水,\parallel}=-\vec v_{乙/水,\parallel}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
渡船航线与侧风修正：现实中的“渡河时间与轨迹”
现实场景
渡船、无人机和飞机都需要用自身相对介质的速度抵消水流或侧风，才能到达预定位置。
题目与现实如何对应
题目中的船速和水速对应载具相对介质速度与介质漂移速度，河宽对应必须跨越的横向距离。 当前题目“第11题：两船渡河相遇”训练的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec v_{水,\parallel}=-\vec v_{乙/水,\parallel}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实流速会随位置和时间变化。
- 载具速度存在功率上限和操纵延迟。
带回原题想一想
把“第11题：两船渡河相遇”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”建立模型。可先使用：
\[\vec v_{水,\parallel}=-\vec v_{乙/水,\parallel}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec v_{水,\parallel}=-\vec v_{乙/水,\parallel}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：两船交会点的通式
两船从相距 \(L\) 的同岸两点同时出发，船头分别以相同速率 \(v_0\) 向内偏转，与河岸均成 \(\alpha\)。水流恰使右侧船垂直到达正对岸。求两船是否相遇；若相遇，求交会高度，并给出相遇发生在到岸前的条件。
变式答案
**水流速度**
右侧船垂直到岸要求水速大小为 \(v_0\cos\alpha\)，方向抵消其沿岸分量。
**相对水平速度**
左船沿岸合速度为 \(2v_0\cos\alpha\)，右船沿岸合速度为 \(0\)，故相对接近速度为 \(2v_0\cos\alpha\)。
**相遇时刻与高度**
\(t_m=L/(2v_0\cos\alpha)\)，交会高度 \(y_m=v_0\sin\alpha\,t_m=(L/2)\tan\alpha\)。
**到岸前条件**
要求 \(y_m\le d\)，即 \(L\tan\alpha\le2d\)。
思路提示
**思路**
把水流先由“右船竖直到岸”确定，再用两船沿岸方向的相对速度求相遇；垂直方向只负责把相遇时刻换算成高度。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“运动合成与小船渡河”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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