题目
如图所示，均匀直杆上连着两个小球 \(A\)、\(B\)，不计一切摩擦。当杆滑到图示位置时，\(B\) 球的水平速度为 \(v_B\)，杆与竖直方向夹角为 \(\alpha\)。
求此时 \(A\) 球的速度大小。
学习定位
连接体与约束
题族：绳杆约束速度
训练能力：约束方程建立、速度投影
前置知识：不可伸长约束、瞬时速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 抓住杆长不变
刚性杆不能被拉长或压短，所以 \(A\)、\(B\) 两端沿杆方向的速度分量必须相等。
2. 分别投影到杆方向
图中 \(A\) 球沿竖直方向运动，\(A\) 的速度与杆方向夹角为 \(\alpha\)，沿杆分量为 \(v_A\cos\alpha\)。\(B\) 球沿水平方向运动，\(B\) 的速度与杆方向夹角为 \(90^\circ-\alpha\)，沿杆分量为 \(v_B\sin\alpha\)。
3. 列约束方程
\(v_A\cos\alpha=v_B\sin\alpha\)，解得 \(v_A=v_B\tan\alpha\)。
初学者探索过程
从“绳杆约束速度”开始探索
先把“课上第13题：杆约束速度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第13题：杆约束速度”后，判断为什么“把两个端点的速度大小直接判为相等”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“约束方程建立、速度投影”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把两个端点的速度大小直接判为相等。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“约束方程建立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“速度投影”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“约束方程建立、速度投影”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“绳杆约束速度”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“课上第13题：杆约束速度”训练的“约束方程建立、速度投影”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“课上第13题：杆约束速度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：杆约束的速度与加速度关系
### 基础设问
杆两端分别沿竖直墙和水平地面滑动，杆与竖直方向夹角为 \(45^\circ\)，水平端速度为 \(10\,\mathrm{m/s}\)。求竖直端速度大小。
### 综合提升
长为 \(L\) 的杆两端坐标为 \((x,0)\)、\((0,y)\)，满足 \(x^2+y^2=L^2\)。（1）推导两端速度关系；（2）继续求导得到加速度关系；（3）解释为什么加速度不能只把速度公式中的 \(v\) 换成 \(a\)；（4）讨论一端接近墙角时另一端速度和加速度的变化。
变式答案
### 1. 基础设问
刚性杆两端沿杆方向的速度分量相等，可得 \(v_A\cos45^\circ=v_B\sin45^\circ\)，所以 \(v_A=v_B=10\,\mathrm{m/s}\)。
### 2. 综合提升
一次求导得
\[x\dot x+y\dot y=0.\]
二次求导得
\[\dot x^2+x\ddot x+\dot y^2+y\ddot y=0.\]
加速度关系比速度关系多出 \(\dot x^2+\dot y^2\) 项，来源是杆方向本身在转动。端点接近墙角时几何投影因子可能趋零，另一端的速度或加速度会迅速增大，必须检查理想刚杆模型的适用性。
思路提示
### 1. 基础思路
杆长不变意味着沿杆方向不能相互靠近或远离，因此两端速度先投影到杆上再相等。
### 2. 进阶思路
杆长不变是原始约束；速度、加速度关系都应从同一个几何方程逐次求导，而不是类比替换。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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