题目
一个质量为 \(4\,\mathrm{kg}\) 的质点在 \(xOy\) 平面内运动。题图分别给出 \(x\) 方向的速度图像和 \(y\) 方向的位移图像。
图像信息为：\(v_x\) 在 \(0\sim2\,\mathrm{s}\) 内由 \(3\,\mathrm{m/s}\) 匀增至 \(6\,\mathrm{m/s}\)；\(y\) 在 \(0\sim2\,\mathrm{s}\) 内由 \(8\,\mathrm{m}\) 匀减至 \(0\)。判断下列说法正确的是哪一个。
选项
- A. 质点做匀变速直线运动
- B. 质点所受合外力为 \(22\,\mathrm{N}\)
- C. \(2\,\mathrm{s}\) 时质点速度为 \(6\,\mathrm{m/s}\)
- D. 零时刻质点速度为 \(5\,\mathrm{m/s}\)
学习定位
曲线运动与矢量分析
题族：二维运动的矢量合成
训练能力：分运动选择、矢量图像转换
前置知识：运动独立性、速度合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 读 \(x\) 方向
由 \(v_x-t\) 图像斜率得 \(a_x=\frac{6-3}{2}=1.5\,\mathrm{m/s^2}\)，且 \(v_{x0}=3\,\mathrm{m/s}\)。
2. 读 \(y\) 方向
\(y-t\) 图像为直线，说明 \(y\) 方向匀速运动，\(v_y=\frac{0-8}{2}=-4\,\mathrm{m/s}\)，\(a_y=0\)。
3. 判断运动性质和合力
合加速度 \(\vec a=(1.5,0)\)，初速度 \(\vec v_0=(3,-4)\)，二者不共线，所以质点做匀变速曲线运动，A 错误。合外力 \(F=ma=4\times1.5=6\,\mathrm{N}\)，B 错误。
4. 比较速度大小
\(2\,\mathrm{s}\) 时 \(\vec v=(6,-4)\)，速度大小 \(\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}\,\mathrm{m/s}\)，不是 \(6\,\mathrm{m/s}\)，C 错误。零时刻速度大小 \(\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m/s}\)。
初学者探索过程
从“二维运动的矢量合成”开始探索
先把“课上第4题：二维运动合成”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第4题：二维运动合成”后，判断为什么“认为速度方向总与合力或加速度方向相同”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分运动选择、矢量图像转换”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为速度方向总与合力或加速度方向相同。
检查这个想法：先执行：先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec v=(v_x,v_y),\qquad \vec a=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{d^2y}{dt^2}\right),\qquad \vec F=m\vec a\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分运动选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“矢量图像转换”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec v=(v_x,v_y),\qquad \vec a=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{d^2y}{dt^2}\right),\qquad \vec F=m\vec a\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分运动选择、矢量图像转换”如何受条件变化控制。
现实同构案例
道路轨迹规划与运动追踪：现实中的“二维运动的矢量合成”
现实场景
无人机、运动相机和导航软件会从连续位置数据重建速度方向与转弯趋势，用于轨迹控制和风险预测。
题目与现实如何对应
题目中的轨迹与速度箭头对应定位数据和瞬时运动方向，加速度对应控制系统改变速度矢量的效果。 当前题目“课上第4题：二维运动合成”训练的“分运动选择、矢量图像转换”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec v=(v_x,v_y),\qquad \vec a=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{d^2y}{dt^2}\right),\qquad \vec F=m\vec a\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v=\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt},\qquad \vec a=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\]
曲线运动中瞬时速度沿轨迹切线，加速度指向速度矢量变化的方向，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 采样频率会影响速度和曲率估计。
- 风、路面和控制延迟会使实际轨迹偏离理想曲线。
带回原题想一想
把“课上第4题：二维运动合成”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先在轨迹上标出速度切线方向，再由速度变化判断加速度方向”建立模型。可先使用：
\[\vec v=(v_x,v_y),\qquad \vec a=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{d^2y}{dt^2}\right),\qquad \vec F=m\vec a\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec v=(v_x,v_y),\qquad \vec a=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{d^2y}{dt^2}\right),\qquad \vec F=m\vec a\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：二维分运动的轨迹反演
### 基础设问
质点初速度 \((4,3)\,\mathrm{m/s}\)，加速度 \((0,-2)\,\mathrm{m/s^2}\)。判断运动类型，并写出 \(x(t)\)、\(y(t)\)。
### 综合提升
质点满足 \(v_x=v_0+at\)、\(y=y_0-ut\)，且 \(x(0)=0\)。（1）写出 \(x(t)\)；（2）消去 \(t\) 得轨迹方程 \(x(y)\)；（3）求速度最小时刻；（4）由观测到的轨迹二次项系数反求 \(a/u^2\)。
变式答案
### 1. 基础设问
水平方向匀速：\(x=4t\)；竖直方向匀变速：\(y=3t-t^2\)。初速度和加速度不共线，所以质点做匀变速曲线运动。
### 2. 综合提升
积分得 \(x=v_0t+at^2/2\)，而 \(t=(y_0-y)/u\)，所以
\[x(y)=\frac{v_0}{u}(y_0-y)+\frac{a}{2u^2}(y_0-y)^2.\]
速度平方 \(v^2=(v_0+at)^2+u^2\)，在允许时间内由 \(v_0+at=0\) 给出极小值候选。轨迹二次项系数就是 \(a/(2u^2)\)，可据此反演参数比。
思路提示
### 1. 基础思路
二维运动先分轴写方程，再看 \(\vec v_0\) 与 \(\vec a\) 是否共线判断直线还是曲线。
### 2. 进阶思路
先分轴积分，再消去时间；轨迹形状、速度极值和受力参数可以由同一组分运动方程互相反推。