题目
铁路拐弯处内、外轨有一定高度差。质量为 \(M_0\) 的火车以设计速率 \(v_0\) 在水平面内转弯时，内、外轨对车轮均无侧向压力，轨道支持力为 \(N_0\)。当火车以实际速率 \(v
e v_0\) 通过此弯道时，轨道将施加一个与枕木平行的侧向压力 \(F\)。已知重力加速度为 \(g\)，轨道与水平面夹角为 \(\theta\)。下列说法正确的是（多选）。
选项
- A. 若 \(v\gt v_0\)，侧向压力 \(F\) 方向由内轨指向外轨
- B. 若 \(v\gt v_0\)，轨道对车轮的支持力大于 \(N_0\)
- C. 春运期间乘客较多，使火车总质量大于 \(M_0\)，为保证安全行驶速率应该小于 \(v_0\)
- D. 该弯道半径 \(r=\dfrac{v_0^2}{g\tan\theta}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆周运动受力分解
训练能力：向心方向确定、径向受力方程
前置知识：牛顿第二定律、向心加速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立设计速度条件
无侧向压力时只有重力和支持力，满足 \(N_0\cos\theta=M_0g\)、\(N_0\sin\theta=M_0v_0^2/r\)。
2. 求弯道半径
两式相除得 \(\tan\theta=v_0^2/(rg)\)，所以 \(r=v_0^2/(g\tan\theta)\)。
3. 分析实际速度偏大
当 \(v>v_0\) 时需要更大的向心力，外轨应对车轮施加指向内轨的侧向压力；联立分量方程可知支持力也增大。
4. 判断质量影响
设计速度条件中质量约去，增加乘客不会改变无侧向压力的设计速率。故 B、D 正确。
初学者探索过程
从“圆周运动受力分解”开始探索
先把“第13题：铁路弯道侧倾”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第13题：铁路弯道侧倾”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“向心方向确定、径向受力方程”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[m\frac{v^2}{r}>m\frac{v_0^2}{r}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“向心方向确定”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“径向受力方程”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[m\frac{v^2}{r}>m\frac{v_0^2}{r}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“向心方向确定、径向受力方程”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆周运动受力分解”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第13题：铁路弯道侧倾”训练的“向心方向确定、径向受力方程”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[m\frac{v^2}{r}>m\frac{v_0^2}{r}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第13题：铁路弯道侧倾”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[m\frac{v^2}{r}>m\frac{v_0^2}{r}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[m\frac{v^2}{r}>m\frac{v_0^2}{r}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：侧向压力限值对应的安全速度区间
质量为 \(m\) 的列车通过倾角 \(\theta\)、半径 \(r\) 的倾斜弯道。轨道允许沿枕木方向的侧向压力大小不超过 \(F_{\max}\)。推导列车安全速度 \(v\) 的取值区间。
变式答案
**分量方程**
令沿轨道向内下方的侧向力为正，有 \(N\sin\theta+F\cos\theta=mv^2/r\)，\(N\cos\theta-F\sin\theta=mg\)。
**消去支持力**
得到 \(F=m(v^2\cos\theta/r-g\sin\theta)\)。
**施加限值**
要求 \(|F|\le F_{\max}\)，即 \(-F_{\max}\le m(v^2\cos\theta/r-g\sin\theta)\le F_{\max}\)。
**速度区间**
\[\max\left(0,\frac r{\cos\theta}\left(g\sin\theta-\frac{F_{\max}}m\right)\right)\le v^2\le\frac r{\cos\theta}\left(g\sin\theta+\frac{F_{\max}}m\right).\]
思路提示
**思路**
不再把侧向压力设为零，而是保留其正负号并消去支持力；最后把双边力限值转化为 \(v^2\) 的区间。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动受力分解”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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