题目
河宽为 \(d\)，船在静水中的速度为 \(v_{\text{船}}\)，水流速度为 \(v_{\text{水}}\)。船速方向与河岸的夹角为 \(\theta\)，且 \(v_{\text{船}}>v_{\text{水}}\)。
求船渡河所用时间、沿河岸方向的横向位移，并判断船头怎样指向时时间最短；若要使船的合位移最小，应怎样渡河，对船速大小有什么要求？
学习定位
运动合成与小船渡河
题族：渡河时间与轨迹
训练能力：垂直河岸分量提取、相遇条件判断
前置知识：速度合成、三角函数
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分步解析
1. 建立速度合成
船对地速度满足 \(\vec v_{\text{船对地}}=\vec v_{\text{船对水}}+\vec v_{\text{水对地}}\)。把 \(v_{\text{船}}\) 分解为垂直河岸分量和沿河岸分量。
2. 求渡河时间
垂直河岸分量为 \(v_{\perp}=v_{\text{船}}\sin\theta\)，只有它负责跨过河宽 \(d\)，所以 \(t=\frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}\)。
3. 求横向位移
若水流方向与船沿河岸分量同向，则沿河岸合速度为 \(v_{\parallel}=v_{\text{船}}\cos\theta+v_{\text{水}}\)，横向位移为 \(s=(v_{\text{船}}\cos\theta+v_{\text{水}})t\)。代入时间得 \(s=(v_{\text{船}}\cos\theta+v_{\text{水}})\frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}\)。
4. 判断最短时间
\(t=\frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}\)，要使 \(t\) 最小，就要让 \(\sin\theta\) 最大，因此 \(\theta=90^\circ\)。答案：船头垂直河岸时渡河时间最短。
5. 判断合位移最小
合位移最小时，希望船实际到达正对岸，即沿河岸合速度为 \(0\)。这要求船头偏向上游，使船速沿岸分量抵消水流：\(v_{\text{船}}\cos\alpha=v_{\text{水}}\)。能做到这一点的条件是 \(v_{\text{船}}>v_{\text{水}}\)。答案：船头偏向上游并刚好抵消水流时，合位移最小，最小合位移为河宽 \(d\)。
初学者探索过程
从“渡河时间与轨迹”开始探索
先把“课上第8题：小船渡河”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第8题：小船渡河”后，判断为什么“把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把船头方向直接当成船相对岸的航迹方向。
检查这个想法：先执行：先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“垂直河岸分量提取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“相遇条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
渡船航线与侧风修正：现实中的“渡河时间与轨迹”
现实场景
渡船、无人机和飞机都需要用自身相对介质的速度抵消水流或侧风，才能到达预定位置。
题目与现实如何对应
题目中的船速和水速对应载具相对介质速度与介质漂移速度，河宽对应必须跨越的横向距离。 当前题目“课上第8题：小船渡河”训练的“垂直河岸分量提取、相遇条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
三种速度始终满足矢量和，渡河时间由对岸方向的速度分量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实流速会随位置和时间变化。
- 载具速度存在功率上限和操纵延迟。
带回原题想一想
把“课上第8题：小船渡河”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先区分船相对水、水相对岸和船相对岸的速度”建立模型。可先使用：
\[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec v_{\mathrm{船/岸}}=\vec v_{\mathrm{船/水}}+\vec v_{\mathrm{水/岸}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：非均匀水流中的渡河轨迹
### 基础设问
河宽 \(d=120\,\mathrm{m}\)，船在静水中的速度 \(v_{\text{船}}=5\,\mathrm{m/s}\)，水流速度 \(v_{\text{水}}=3\,\mathrm{m/s}\)。若船头与河岸夹角为 \(60^\circ\)，求渡河时间和沿河岸方向的横向位移；若要合位移最小，应如何调整船头方向？
### 综合提升
河宽为 \(d\)，船对水速度大小恒为 \(v_b\) 且始终垂直河岸；水速随离岸距离 \(y\) 变化为 \(u(y)=u_0+ky\)。（1）求渡河时间；（2）推导轨迹 \(x(y)\)；（3）求到岸漂移量；（4）若允许调节船头方向，说明怎样建立正对岸到达的控制方程。
变式答案
### 1. 基础设问
当 \(\theta=60^\circ\) 时，垂直河岸分速度为 \(5\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}\,\mathrm{m/s}\)，所以 \(t=\frac{120}{5\sin60^\circ}\approx27.7\,\mathrm{s}\)。沿河岸合速度为 \(5\cos60^\circ+3=5.5\,\mathrm{m/s}\)，横向位移 \(s\approx5.5\times27.7=152.4\,\mathrm{m}\)。若合位移最小，应使 \(5\cos\alpha=3\)，故 \(\alpha=\arccos\frac35\approx53.1^\circ\)。
### 2. 综合提升
垂直分速度恒为 \(v_b\)，所以 \(t=d/v_b\)。又
\[\frac{dx}{dy}=\frac{u(y)}{v_b}=\frac{u_0+ky}{v_b},\]
积分得
\[x(y)=\frac{u_0y+ky^2/2}{v_b},\qquad x(d)=\frac{u_0d+kd^2/2}{v_b}.\]
若船头可调，应令船速沿岸分量与 \(u(y)\) 的合速度积分满足总漂移为零，同时保证垂直分量为正。
思路提示
### 1. 基础思路
渡河时间只看垂直河岸分量，沿河岸偏移看“船速沿岸分量 + 水速”。合位移最小时，目标是让沿岸合速度为 \(0\)，前提是 \(v_{\text{船}}>v_{\text{水}}\)。
### 2. 进阶思路
水速随位置变时不能再用一个平均速度直接乘时间；把轨迹微分写成两个分速度之比后积分。
真题拓展
不同水平初速度的乒乓球越网
高考真题 · 同一考点
2017年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“运动合成与小船渡河”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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