题目
自行车气嘴灯由接触式开关控制。弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块 \(P\) 连接；当车轮角速度达到一定值时，\(P\) 拉伸弹簧并使触点 \(A\)、\(B\) 接触，电路接通。触点 \(B\) 与车轮圆心距离为 \(R\)。车轮静止且气嘴灯在最低点时，触点 \(A\)、\(B\) 距离为 \(d\)，\(d\lt R\)。已知 \(P\) 与触点 \(A\) 的总质量为 \(m\)，弹簧劲度系数为 \(k\)，重力加速度为 \(g\)，忽略开关内摩擦。下列说法正确的是（多选）。
选项
- A. 气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光
- B. 气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光
- C. 要使气嘴灯能够发光，车轮匀速转动的最小角速度为 \(\sqrt{\dfrac{kd}{mR}}\)
- D. 要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 \(\sqrt{\dfrac{kd+2mg}{mR}}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定最低点临界
静止在最低点时弹簧已平衡重力。触点再闭合需要增加伸长 \(d\)，故最低点触发条件化为 \(m\omega^2R=kd\)。
2. 比较最高点
最高点重力指向圆心，与弹簧一起形成更大的向内作用；要让物块达到同一外移位置，需要更大的 \(m\omega^2R\)，因此最高点最难触发。
3. 求持续发光阈值
由最低点静止平衡带来的预伸长计入后，最高点临界满足 \(m\omega^2R=kd+2mg\)。
4. 得出结论
最低点最容易、最高点最困难；B、C、D 正确。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“第14题：自行车气嘴灯临界”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第14题：自行车气嘴灯临界”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega_{最低}<\omega_{最高}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega_{最低}<\omega_{最高}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第14题：自行车气嘴灯临界”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega_{最低}<\omega_{最高}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第14题：自行车气嘴灯临界”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega_{最低}<\omega_{最高}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega_{最低}<\omega_{最高}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意轮位角的触发阈值
以气嘴灯位于最低点时的轮位角为 \(\varphi=0\)。在保持原装置参数不变的情况下，推导任意轮位角 \(\varphi\) 处触点刚好闭合所需的 \(\omega_c(\varphi)\)，并由此说明哪里最先发光、哪里最后发光。
变式答案
**重力径向变化**
相对于最低点静止平衡，轮位角为 \(\varphi\) 时重力沿径向外侧的分量减少了 \(mg(1-\cos\varphi)\)。
**临界方程**
\[m\omega_c^2R=kd+mg(1-\cos\varphi).\]
**临界角速度**
\[\omega_c(\varphi)=\sqrt{\frac{kd+mg(1-\cos\varphi)}{mR}}.\]
**结论**
\(\varphi=0\) 的最低点阈值最小，最先发光；\(\varphi=\pi\) 的最高点阈值最大，最后发光。
思路提示
**思路**
以最低点静止平衡作为基准，避免重复引入弹簧原伸长；只计算重力径向分量相对最低点改变了多少。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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